Неравенство √f(x) > g(x)
Корень больше выражения: здесь правая часть может быть и отрицательной — тогда неравенство выполняется автоматически, лишь бы корень существовал. Если же правая часть неотрицательна, возводим в квадрат. Два случая — две системы, объединённые в совокупность.
Правило. \[\sqrt{f(x)} \gt g(x) \iff \left[\begin{array}{l} \begin{cases} g(x) \lt 0, \\ f(x) \ge 0; \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) \gt g^2(x). \end{cases} \end{array}\right.\] Во второй системе условие \(f \ge 0\) не нужно: оно следует из \(f \gt g^2 \ge 0\). Ответ — объединение решений двух систем.
Как это работает. Решим неравенство \(\sqrt{x + 3} \gt x + 1\).
- Первая система: \(x + 1 \lt 0\) и \(x + 3 \ge 0\), то есть \(-3 \le x \lt -1\).
- Вторая: \(x + 1 \ge 0\) и \(x + 3 \gt (x + 1)^2\), то есть \(x^2 + x - 2 \lt 0\), \(-2 \lt x \lt 1\); вместе с \(x \ge -1\) получаем \(-1 \le x \lt 1\).
- Объединяем: \(-3 \le x \lt 1\). Ответ: \([-3; 1)\).
Ещё пример. Решите неравенство \(\sqrt{2x - 1} \gt -4\).
Решение. Правая часть отрицательна, поэтому неравенство верно всюду, где корень существует: \(2x - 1 \ge 0\), \(x \ge \dfrac12\). Ответ: \(\left[\dfrac12; +\infty\right)\).
Лайфхак. Неравенства \(\sqrt{f} \lt g\) и \(\sqrt{f} \gt g\) с одинаковыми \(f\) и \(g\) дополняют друг друга на ОДЗ: решив одно, второе получают как «всё остальное из \(f \ge 0\)», не забыв про точки равенства. Это хорошая проверка.
Типичная ошибка. Рассматривают только случай возведения в квадрат и теряют решения, при которых правая часть отрицательна: для \(\sqrt{x + 3} \gt x + 1\) теряется \([-3; -1)\).
На ЕГЭ. Схема «совокупность двух систем» — обязательная запись в решении задания 15: без первого случая решение неполное, и балл снимается даже при правильном ответе, полученном подбором.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward