Неравенство √f(x) ≤ √g(x) и замена
Если корни стоят в обеих частях, их квадраты сравниваются так же, как сами корни: функция \(\sqrt t\) возрастает. Остаётся потребовать, чтобы меньшее подкоренное выражение было неотрицательно — тогда большее неотрицательно автоматически.
Правила. \[\sqrt{f(x)} \le \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) \le g(x); \end{cases} \qquad \sqrt{f(x)} \lt \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) \lt g(x). \end{cases}\] Неравенства вида \(x - 5\sqrt x + 6 \le 0\) решают заменой \(t = \sqrt x \ge 0\): \(t^2 - 5t + 6 \le 0\), \(2 \le t \le 3\), затем \(4 \le x \le 9\).
Как это работает. Решим неравенство \(\sqrt{x^2 - 3x} \le \sqrt{x + 5}\).
- Система: \(x^2 - 3x \ge 0\) и \(x^2 - 3x \le x + 5\).
- Первое: \(x(x - 3) \ge 0\), то есть \(x \le 0\) или \(x \ge 3\). Второе: \(x^2 - 4x - 5 \le 0\), \((x - 5)(x + 1) \le 0\), то есть \(-1 \le x \le 5\).
- Пересечение: \([-1; 0] \cup [3; 5]\). Ответ: \([-1; 0] \cup [3; 5]\).
Ещё пример. Решите неравенство \(x - 5\sqrt{x} + 6 \le 0\).
Решение. Замена \(t = \sqrt x \ge 0\): \(t^2 - 5t + 6 \le 0\), \((t - 2)(t - 3) \le 0\), \(2 \le t \le 3\). Возвращаемся: \(2 \le \sqrt x \le 3\), \(4 \le x \le 9\). Ответ: \([4; 9]\).
Лайфхак. Проверяйте неотрицательность меньшего подкоренного выражения — того, что стоит под меньшим корнем. Для большего условие выполнится само. Проверять оба — лишняя работа, проверять только большее — ошибка.
Типичная ошибка. При возврате от \(t\) к \(x\) переносят неравенство на \(x\) без возведения в квадрат: из \(2 \le \sqrt x \le 3\) пишут \(2 \le x \le 3\). Верно \(4 \le x \le 9\).
На ЕГЭ. Область определения в заданиях 15 и 17 — это система неравенств с корнями и логарифмами; решать её нужно именно так, записывая каждое условие. В задании 15 корень обычно стоит в знаменателе: \(\dfrac{\ldots}{\sqrt{x - 1}}\), что даёт строгое условие \(x \gt 1\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward