Нулевой определитель: нет решений или бесконечно много

11 заданий

Если определитель системы равен нулю, формулы Крамера не работают — делить на нуль нельзя. Геометрически это означает, что прямые, заданные уравнениями, параллельны или совпадают. Какой из случаев имеет место, показывают свободные члены.

Правило. Для системы \(\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1, \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\): \[\Delta \ne 0 \Rightarrow \text{одно решение}; \qquad \Delta = 0,\; \Delta_x \ne 0 \text{ или } \Delta_y \ne 0 \Rightarrow \text{решений нет}; \qquad \Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0 \Rightarrow \text{бесконечно много}.\] То же через коэффициенты: \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}\) — параллельные прямые; все три отношения равны — прямые совпадают.

Как это работает. При каком положительном \(a\) система \(\begin{cases} ax + 25y = 1, \\ x + ay = 2 \end{cases}\) не имеет единственного решения?

Единственного решения нет, когда \(\Delta = 0\): \(a \cdot a - 1 \cdot 25 = a^2 - 25 = 0\), \(a = \pm 5\); положительное \(a = 5\).
Уточним случай: при \(a = 5\) система \(5x + 25y = 1\), \(x + 5y = 2\). Второе уравнение, умноженное на 5, даёт \(5x + 25y = 10 \ne 1\) — прямые параллельны, решений нет.
Ответ: \(a = 5\); при этом значении система несовместна.

Ещё пример. При каком \(b\) система \(\begin{cases} 2x - 6y = 4, \\ -x + 3y = b \end{cases}\) имеет бесконечно много решений?
Решение. \(\Delta = 2 \cdot 3 - (-1)(-6) = 0\) при любом \(b\). Бесконечно много решений, если уравнения пропорциональны: первое, делённое на \(-2\), даёт \(-x + 3y = -2\). Значит, \(b = -2\); при других \(b\) решений нет. Ответ: \(b = -2\).

Лайфхак. Нулевой определитель — только «сигнал тревоги»: за ним всегда следует второй шаг — сравнение свободных членов. Удобно привести уравнения к одинаковым коэффициентам при \(x\) и \(y\) и посмотреть, совпадают ли правые части.

Типичная ошибка. «Определитель равен нулю — значит, решений нет». Возможен и противоположный случай — бесконечно много решений. Без проверки свободных членов вывод неверен.

На ЕГЭ. Вопрос «при каком значении параметра система имеет единственное решение» решается одним условием \(\Delta \ne 0\); вопрос «не имеет решений» требует двух условий. Этот же язык полезен в задании 19 для линейных систем с параметром.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward