Определитель третьего порядка

Определитель матрицы \(3 \times 3\) считают двумя способами: правилом треугольников (шесть произведений с чередованием знаков) или разложением по первой строке через три определителя второго порядка. Второй способ надёжнее: в нём меньше слагаемых одновременно.

Как это работает. Вычислим \(\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}\).

1. Первое слагаемое: \(2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot (0 - 8) = -16\).
2. Второе: \(-1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 - 4) = 4\).
3. Третье: \(3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot (0 + 1) = 3\). Сумма: \(-16 + 4 + 3 = -9\). Ответ: \(-9\).

Ещё пример. Вычислите \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ 7 & -3 & 4 \end{vmatrix}\).
Решение. Матрица треугольная (над главной диагональю нули), определитель равен произведению диагональных элементов: \(1 \cdot 2 \cdot 4 = 8\). Разложение по первой строке даёт то же: \(1 \cdot (2 \cdot 4 - 0) = 8\). Ответ: 8.