Обыкновенные, десятичные и периодические дроби

Рациональное число — это дробь \(\dfrac{p}{q}\), где \(p\) — целое, \(q\) — натуральное. В десятичной записи рациональное число либо конечно, либо бесконечно и периодично. Несократимая дробь записывается конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя нет простых множителей, кроме 2 и 5: \(\dfrac{7}{40} = 0{,}175\) (\(40 = 2^3 \cdot 5\)), а \(\dfrac{5}{12} = 0{,}41(6)\) (\(12 = 2^2 \cdot 3\)).

Периодическую дробь переводят в обыкновенную умножением на степень десяти: пусть \(x = 0{,}(36)\). Тогда \(100x = 36{,}(36)\), \(100x - x = 36\), \(x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}\).

Пример. Вычислите \(0{,}(3) + 0{,}(6)\).
Решение. \(0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac13\), \(0{,}(6) = \dfrac{6}{9} = \dfrac23\). Сумма равна 1.

Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{2{,}4 \cdot 0{,}25}{1{,}5}\).
Решение. Переведём в обыкновенные дроби: \(\dfrac{\dfrac{12}{5} \cdot \dfrac14}{\dfrac32} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac25 = 0{,}4\).