Обыкновенные дроби: сокращение и общий знаменатель
Рациональное число — это число, которое можно записать дробью \(\dfrac{m}{n}\) с целым числителем \(m\) и натуральным знаменателем \(n\). Все действия с дробями опираются на одно свойство: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, дробь при этом не изменится.
Основное свойство дроби. \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k} = \dfrac{a : k}{b : k}, \qquad k \ne 0.\] Деление числителя и знаменателя на их общий делитель называют сокращением; дробь несократима, если НОД числителя и знаменателя равен 1.
Как это работает. Сократим дробь \(\dfrac{84}{126}\) и приведём дроби \(\dfrac{5}{12}\) и \(\dfrac{7}{18}\) к общему знаменателю.
- Сокращение: НОД\((84; 126) = 42\), поэтому \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 : 42}{126 : 42} = \dfrac{2}{3}\). Можно сокращать и постепенно: на 2, затем на 3, затем на 7.
- Общий знаменатель — НОК знаменателей: НОК\((12; 18) = 36\).
- Дополнительные множители: \(36 : 12 = 3\) и \(36 : 18 = 2\). Получаем \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36}\), \(\dfrac{7}{18} = \dfrac{14}{36}\).
Ещё пример. Сравните \(\dfrac{7}{9}\) и \(\dfrac{5}{6}\).
Решение. Общий знаменатель 18: \(\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}\), \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}\). Значит, \(\dfrac{7}{9} \lt \dfrac{5}{6}\).
Лайфхак. Чтобы сравнить две дроби, перемножьте «крест-накрест»: \(\dfrac{a}{b}\) и \(\dfrac{c}{d}\) сравниваются так же, как \(ad\) и \(bc\) (при положительных знаменателях). Для \(\dfrac79\) и \(\dfrac56\): \(7 \cdot 6 = 42 \lt 45 = 9 \cdot 5\).
Типичная ошибка. Сокращать можно только множители, а не слагаемые: в дроби \(\dfrac{2 + 6}{2}\) нельзя «сократить двойки» и получить 6; верно \(\dfrac{8}{2} = 4\).
На ЕГЭ. Ответ в бланке части 1 — целое число или конечная десятичная дробь. Если получилась обыкновенная дробь, её нужно перевести в десятичную; поэтому результат вида \(\dfrac{2}{3}\) в задании части 1 означает ошибку в вычислениях.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward