Действия с дробями и смешанными числами
Четыре действия с дробями выполняются по четырём правилам. Складывают и вычитают дроби только с одинаковыми знаменателями, умножают и делят — любые.
Формулы. \[\dfrac{a}{n} \pm \dfrac{b}{n} = \dfrac{a \pm b}{n}, \qquad \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}, \qquad \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}.\] Смешанное число — сумма целой части и дроби: \(2\dfrac{3}{4} = 2 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{4}\). Перед умножением и делением смешанные числа переводят в неправильные дроби.
Как это работает. Вычислим \(1\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} \cdot 1\dfrac{1}{3}\).
- Сначала умножение. Переводим: \(1\dfrac13 = \dfrac43\). Тогда \(\dfrac34 \cdot \dfrac43 = \dfrac{12}{12} = 1\).
- Затем вычитание: \(1\dfrac56 - 1 = \dfrac56\).
- Проверяем, что дробь несократима. Ответ: \(\dfrac56\).
Ещё пример. Вычислите \(\dfrac{7}{12} : \dfrac{14}{15}\).
Решение. Деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь: \(\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{15}{14}\). Сокращаем до умножения: 7 и 14 на 7, 15 и 12 на 3. Получаем \(\dfrac{1 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \dfrac{5}{8}\). Ответ: \(\dfrac58 = 0{,}625\).
Лайфхак. Сокращайте до умножения, а не после: числа остаются маленькими, и ошибок меньше. При сложении смешанных чисел целые части складывайте отдельно: \(2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{2} = 3 + \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = 3\dfrac{5}{6}\).
Типичная ошибка. При сложении дробей нельзя складывать знаменатели: \(\dfrac12 + \dfrac13 \ne \dfrac25\). Верно: \(\dfrac36 + \dfrac26 = \dfrac56\).
На ЕГЭ. Дробные вычисления встречаются в задании 8 и внутри всех текстовых задач: скорость \(\dfrac{90}{v - 5}\), производительность \(\dfrac{1}{x}\). Уверенный счёт с дробями экономит время на весь экзамен.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward