Десятичные дроби и перевод из одной записи в другую
Десятичная дробь — это обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, записанная через запятую: \(0{,}375 = \dfrac{375}{1000} = \dfrac{3}{8}\). Любая обыкновенная дробь переводится в десятичную делением числителя на знаменатель, но не всегда получается конечная запись.
Правило. Несократимая дробь \(\dfrac{m}{n}\) равна конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель \(n\) не имеет простых делителей, кроме 2 и 5: \(n = 2^a \cdot 5^b\). Иначе получается бесконечная периодическая дробь: \(\dfrac13 = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)\), \(\dfrac{5}{12} = 0{,}41(6)\).
Как это работает. Переведём \(\dfrac{7}{40}\) в десятичную дробь двумя способами.
- Проверяем знаменатель: \(40 = 2^3 \cdot 5\) — только двойки и пятёрки, значит, дробь конечная.
- Первый способ — дополнить знаменатель до степени десяти: \(40 \cdot 25 = 1000\), поэтому \(\dfrac{7}{40} = \dfrac{175}{1000} = 0{,}175\).
- Второй способ — деление уголком: \(7 : 40 = 0{,}175\). Ответ: 0,175.
Ещё пример. Запишите \(0{,}(36)\) обыкновенной дробью.
Решение. Пусть \(x = 0{,}363636\ldots\) Тогда \(100x = 36{,}3636\ldots\), и \(100x - x = 36\), откуда \(99x = 36\), \(x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}\). Ответ: \(\dfrac{4}{11}\).
Лайфхак. Запомните «дробные эталоны»: \(\dfrac18 = 0{,}125\), \(\dfrac38 = 0{,}375\), \(\dfrac58 = 0{,}625\), \(\dfrac78 = 0{,}875\), \(\dfrac{1}{16} = 0{,}0625\), \(\dfrac{1}{20} = 0{,}05\), \(\dfrac{1}{25} = 0{,}04\), \(\dfrac{1}{40} = 0{,}025\). Их достаточно для большинства ответов части 1.
На ЕГЭ. В бланке ответ записывают десятичной дробью через запятую, без единиц измерения и знака процента: \(0{,}625\), \(-1{,}5\), \(12\). Бесконечная периодическая дробь ответом быть не может — значит, в задаче нужно пересчитать.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward