Проценты: три основные задачи
Процент — это сотая часть: \(1\,\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\). Поэтому \(p\,\%\) от числа \(a\) — это \(a \cdot \dfrac{p}{100}\). Все задачи на проценты сводятся к трём вопросам.
Формулы. \[p\,\% \text{ от } a = \dfrac{a \cdot p}{100}; \qquad \text{число, } p\,\% \text{ которого равно } b: \; a = \dfrac{b \cdot 100}{p}; \qquad \text{сколько процентов } b \text{ от } a: \; \dfrac{b}{a} \cdot 100\,\%.\] Переводы: \(25\,\% = \dfrac14 = 0{,}25\), \(12{,}5\,\% = \dfrac18\), \(150\,\% = 1{,}5\).
Как это работает. Куртка стоила 4800 рублей. На распродаже её цена снизилась на 15 %. Сколько стала стоить куртка?
- Находим размер скидки: \(15\,\%\) от 4800 — это \(4800 \cdot 0{,}15 = 720\) рублей.
- Вычитаем скидку: \(4800 - 720 = 4080\).
- Короче: новая цена составляет \(100\,\% - 15\,\% = 85\,\%\) старой, \(4800 \cdot 0{,}85 = 4080\). Ответ: 4080 рублей.
Ещё пример. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. После удержания налога сотрудник получил 34 800 рублей. Какова заработная плата до удержания налога?
Решение. На руки выдали \(100\,\% - 13\,\% = 87\,\%\) зарплаты, то есть \(0{,}87\) её части. Зарплата равна \(34\,800 : 0{,}87 = 40\,000\). Ответ: 40 000 рублей.
Лайфхак. Всегда определяйте, что принято за 100 %. В задаче «на сколько процентов \(b\) больше \(a\)» за 100 % берут \(a\); в задаче «на сколько процентов \(a\) меньше \(b\)» — \(b\). Поэтому 60 больше 50 на 20 %, а 50 меньше 60 примерно на 16,7 %.
Типичная ошибка. «Получил 34 800, налог 13 % — значит, зарплата \(34\,800 \cdot 1{,}13\)». Нет: 13 % считали от зарплаты, а не от суммы на руки. Делить нужно на 0,87.
На ЕГЭ. Задачи на проценты — это часть задания 1 базового уровня и обязательный шаг в заданиях 11 (смеси, цены) и 13 (финансовая математика), где процент берут от текущей суммы долга.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward