Изменение на p %: коэффициент и повторные изменения
Увеличение на \(p\,\%\) — это умножение на один коэффициент, уменьшение — на другой. Запись через коэффициент избавляет от лишних действий и делает повторные изменения простыми.
Формула. После увеличения на \(p\,\%\) величина \(a\) становится равной \(a\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\), после уменьшения на \(p\,\%\) — \(a\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)\). Несколько изменений подряд — произведение коэффициентов: \[a \cdot k_1 \cdot k_2 \cdot \dots \cdot k_n.\] Общий процент изменения равен \((k_1 k_2 \dots k_n - 1) \cdot 100\,\%\), а не сумме процентов.
Как это работает. Цену товара сначала повысили на 25 %, а затем снизили на 20 %. Как изменилась цена?
- Коэффициенты: повышение на 25 % — умножение на \(1{,}25\); снижение на 20 % — на \(0{,}8\).
- Итоговый коэффициент: \(1{,}25 \cdot 0{,}8 = 1\).
- Цена вернулась к исходной: изменение 0 %. Ответ: не изменилась.
Ещё пример. Число увеличили на 10 %, затем ещё на 10 %. На сколько процентов оно выросло?
Решение. \(1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21\), рост \(21\,\%\), а не 20 %: второй раз 10 % считали от уже увеличенного числа. Ответ: на 21 %.
Лайфхак. Если неизвестна исходная величина, берите её равной 100: проценты тогда превращаются в обычные числа. Вопрос «на сколько процентов изменилось» решается так: конечное значение минус 100.
Типичная ошибка. «Увеличили на 20 % и уменьшили на 20 % — вернулись к старому». Нет: \(1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96\), величина уменьшилась на 4 %.
На ЕГЭ. Коэффициент \(1 + \dfrac{p}{100}\) — основа задания 13: долг за год умножается на \(1 + \dfrac{r}{100}\), вклад за \(n\) лет — на \(\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^n\). В задании 11 «цену дважды повышали на одно и то же число процентов» — это уравнение \(a k^2 = b\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward