Смеси, сплавы и растворы

11 заданий

В задачах на смеси процент (концентрация) показывает, какую долю смеси составляет чистое вещество. Единственное, что складывается при смешивании, — массы: масса смеси и масса чистого вещества. Проценты складывать нельзя.

Формула. Масса чистого вещества равна произведению доли на массу раствора: \(m_{\text{в}} = c \cdot m\), где \(c = \dfrac{p}{100}\). При смешивании растворов \[c_1 m_1 + c_2 m_2 = c \,(m_1 + m_2).\] Удобно заполнять таблицу со столбцами «масса раствора», «доля», «масса вещества» и составлять уравнение по последнему столбцу.

Как это работает. Смешали 4 кг 15-процентного раствора соли и 6 кг 25-процентного. Какова концентрация полученного раствора?

Масса соли в первом растворе: \(0{,}15 \cdot 4 = 0{,}6\) кг; во втором: \(0{,}25 \cdot 6 = 1{,}5\) кг.
Всего соли \(0{,}6 + 1{,}5 = 2{,}1\) кг, всего раствора \(4 + 6 = 10\) кг.
Концентрация \(\dfrac{2{,}1}{10} = 0{,}21 = 21\,\%\). Ответ: 21.

Ещё пример. Виноград содержит 90 % влаги, а изюм — 5 %. Сколько килограммов винограда требуется для получения 19 кг изюма?
Решение. Считаем сухое вещество, его количество не меняется. В изюме сухого вещества \(95\,\%\): \(0{,}95 \cdot 19 = 18{,}05\) кг. В винограде сухого вещества \(10\,\%\), значит, винограда нужно \(18{,}05 : 0{,}1 = 180{,}5\) кг. Ответ: 180,5.

Лайфхак. В задачах про сушку, выпаривание и сплавы ищите величину, которая не меняется: сухое вещество при сушке, соль при выпаривании воды, металл при добавлении другого металла. Уравнение составляют именно для неё.

Типичная ошибка. Средняя концентрация — не среднее арифметическое процентов. Смесь 15 % и 25 % даёт 20 % только при равных массах; в примере выше получилось 21 %.

На ЕГЭ. Смеси и сплавы — одна из стандартных моделей задания 11. Если смешивают два раствора и в условии две неизвестные массы, второе уравнение даёт общая масса смеси.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward