Оформление и проверка решения задания 17

Задание 17 проверяют эксперты, поэтому важен не только ответ, но и запись: обозначения, границы переменной, производная, обоснование экстремума, ответ в нужных единицах. Короткая проверка ответа страхует от арифметических ошибок.

Как это работает. Оформим задачу: «Расход топлива катера при скорости \(v\) км/ч составляет \(\dfrac{v^2}{200} + 50\) литров в час. На каком режиме скорости расход на 1 км пути наименьший?»

1. Пусть \(v \gt 0\) — скорость. Расход на 1 км: время прохождения километра \(\dfrac1v\) ч, расход \(R(v) = \dfrac{1}{v}\left(\dfrac{v^2}{200} + 50\right) = \dfrac{v}{200} + \dfrac{50}{v}\).
2. \(R'(v) = \dfrac{1}{200} - \dfrac{50}{v^2} = 0\) при \(v^2 = 10\,000\), \(v = 100\) (положительный корень).
3. При \(v \lt 100\) производная отрицательна, при \(v \gt 100\) положительна — минимум. Проверка: \(R(100) = 0{,}5 + 0{,}5 = 1\) л/км; \(R(50) = 0{,}25 + 1 = 1{,}25\); \(R(200) = 1 + 0{,}25 = 1{,}25\). Ответ: 100 км/ч.

Ещё пример. В ответе задачи о наибольшей площади получилось 200 м², а размеры 10 м и 20 м. Как проверить ответ без производной?
Решение. Берём соседние размеры: \(9\) и \(22\) дают \(198\) м², \(11\) и \(18\) дают \(198\) м² — оба меньше 200. Ответ правдоподобен. Ответ: подстановкой соседних значений.