Задание 17: прикладная задача на оптимум

11 заданий

В прикладной задаче на оптимум нужно самому составить функцию — площадь, объём, стоимость, время — от одной переменной, а затем найти её наибольшее или наименьшее значение. Производная превращает задачу «как лучше» в уравнение \(f'(x) = 0\).

Алгоритм. 1) Обозначить переменную \(x\) и записать её естественные границы (\(x \gt 0\), \(x \lt\) длина стороны). 2) Выразить оптимизируемую величину как функцию \(f(x)\), исключив остальные неизвестные через условие. 3) Найти \(f'(x)\), решить \(f'(x) = 0\), выбрать корни из допустимого промежутка. 4) Проверить знак производной слева и справа (или сравнить с концами) — убедиться, что это нужный экстремум. 5) Ответить на вопрос задачи: иногда нужна не \(x\), а само значение \(f\).

Как это работает. Из куска проволоки длиной 40 м нужно сделать прямоугольную ограду вдоль стены (ограждаются три стороны). Найдём размеры участка наибольшей площади.

Пусть сторона, перпендикулярная стене, равна \(x\) (две такие стороны), тогда сторона вдоль стены \(40 - 2x\); условие \(0 \lt x \lt 20\). Площадь \(S(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2\).
\(S'(x) = 40 - 4x = 0\) при \(x = 10\). Слева производная положительна, справа отрицательна — максимум.
Размеры: \(10\) м и \(40 - 20 = 20\) м; площадь \(200\) м². Ответ: 10 м × 20 м.

Ещё пример. Открытая коробка делается из квадратного листа картона со стороной 12 см вырезанием по углам квадратов со стороной \(x\) и загибанием бортов. При каком \(x\) объём наибольший?
Решение. \(V(x) = x(12 - 2x)^2\), \(0 \lt x \lt 6\). \(V'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)\); нули \(x = 6\) (граница) и \(x = 2\). При \(x = 2\) знак меняется с плюса на минус — максимум; \(V(2) = 2 \cdot 64 = 128\) см³. Ответ: \(x = 2\) см.

Лайфхак. Для квадратичной функции цели производная не обязательна: максимум в вершине параболы \(x_в = -\dfrac{b}{2a}\). Но в задании 17 решение через производную оценивается как полное — оставьте его, даже если вершину видно сразу.

Типичная ошибка. Не записывают границы \(x\) и берут корень вне допустимого промежутка (\(x = 6\) в задаче о коробке — нулевой объём). Вторая ошибка — не проверить, что найденная точка действительно максимум, а не минимум.

На ЕГЭ. Задание 17 (новое в 2027 году, 2 балла): прикладная задача на наибольшее или наименьшее значение. Балл за составленную функцию и найденную критическую точку, балл за обоснование экстремума и ответ на вопрос задачи.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward