Определённый интеграл и площадь

Формула Ньютона — Лейбница:

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).\]

Если \(f(x) \ge 0\) на \([a; b]\), интеграл равен площади криволинейной трапеции — фигуры под графиком между прямыми \(x = a\), \(x = b\) и осью \(Ox\). Площадь фигуры между графиками \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) (\(f \ge g\)) равна \(\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx\).

Пример. \(F(x) = x^3 + 3x^2 - 5\) — первообразная функции \(f(x)\). Найдите площадь под графиком \(f\) на отрезке \([0; 2]\) (там \(f(x) = 3x^2 + 6x \ge 0\)).
Решение. \(S = F(2) - F(0) = 15 - (-5) = 20\).

Пример. Вычислите \(\int_0^{\pi} \sin x\,dx\).
Решение. \(-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2\) — площадь одной «арки» синусоиды.

Пример. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = 4 - x^2\) и осью \(Ox\).
Решение. Парабола пересекает ось при \(x = \pm 2\): \(S = \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left(4x - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{2} = \left(8 - \dfrac83\right) - \left(-8 + \dfrac83\right) = \dfrac{32}{3}\).