Первообразная
\(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\) на промежутке, если \(F'(x) = f(x)\). Первообразных бесконечно много, все они отличаются на константу: \(F(x) + C\). Конкретную первообразную выделяет условие — например, значение в точке.
| \(f(x)\) | \(x^n\) (\(n \ne -1\)) | \(\dfrac1x\) | \(e^x\) | \(a^x\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F(x)\) | \(\dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}\) | \(\ln|x|\) | \(e^x\) | \(\dfrac{a^x}{\ln a}\) | \(-\cos x\) | \(\sin x\) | \(\operatorname{tg} x\) |
Правила: первообразная суммы — сумма первообразных; постоянный множитель выносится; для \(f(kx + b)\) первообразная равна \(\dfrac{1}{k}F(kx + b)\). Так первообразная \(\cos 3x\) — это \(\dfrac13\sin 3x\), а первообразная \((2x - 1)^4\) — \(\dfrac{(2x - 1)^5}{10}\).
Пример. Найдите первообразную функции \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\), график которой проходит через точку \((1; 5)\).
Решение. \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C\); \(F(1) = 1 - 2 + 1 + C = 5\), \(C = 5\). Ответ: \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5\).
По графику первообразной. Так как \(F' = f\), нули функции \(f\) — это точки, где касательная к графику \(F\) горизонтальна, а знак \(f\) показывает, где \(F\) возрастает. Задача «на рисунке график \(F\), найдите, сколько решений имеет \(f(x) = 0\)» — подсчёт экстремумов \(F\).
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward