Основные распределения

12 заданий

Несколько распределений встречаются так часто, что получили имена и готовые формулы для математического ожидания и дисперсии. Дискретные — биномиальное и геометрическое; непрерывные — равномерное, показательное и нормальное.

Нормальное распределение: около 68 % значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95 % — в пределах двух, 99,7 % — трёх

Распределение	Что описывает	\(E(X)\)	\(D(X)\)
Биномиальное \(B(n; p)\)	число успехов в \(n\) испытаниях Бернулли	\(np\)	\(npq\)
Геометрическое	номер испытания, на котором произошёл первый успех	\(\dfrac1p\)	\(\dfrac{q}{p^2}\)
Равномерное на \([a; b]\)	случайная точка отрезка	\(\dfrac{a + b}{2}\)	\(\dfrac{(b - a)^2}{12}\)
Показательное с параметром \(\lambda\)	время ожидания события	\(\dfrac1\lambda\)	\(\dfrac{1}{\lambda^2}\)
Нормальное \(N(\mu; \sigma)\)	суммарное действие многих малых факторов	\(\mu\)	\(\sigma^2\)

Правила. Равномерное: \(P(X \in [c; d]) = \dfrac{d - c}{b - a}\). Нормальное: правило трёх сигм — \(P(|X - \mu| \lt \sigma) \approx 0{,}68\), \(P(|X - \mu| \lt 2\sigma) \approx 0{,}95\), \(P(|X - \mu| \lt 3\sigma) \approx 0{,}997\); распределение симметрично относительно \(\mu\). Геометрическое: \(P(X = k) = q^{k - 1} p\).

Как это работает. Рост взрослых мужчин распределён нормально со средним 176 см и стандартным отклонением 7 см. Найдём долю мужчин ростом от 169 до 183 см и долю выше 190 см.

Промежуток \([169; 183]\) — это \(\mu \pm \sigma\): около 68 %.
Выше 190 см — это больше \(\mu + 2\sigma\). Вне \(\mu \pm 2\sigma\) лежит около 5 %, по симметрии справа — половина: около 2,5 %.
Ответ: примерно 68 %; примерно 2,5 %.

Ещё пример. Монету бросают 100 раз. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение числа орлов. Автобус приходит в случайный момент между 10:00 и 10:20; какова вероятность ждать не более 5 минут, если пассажир пришёл в 10:00?
Решение. Биномиальное: \(E = 100 \cdot 0{,}5 = 50\), \(D = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25\), \(\sigma = 5\). Равномерное на \([0; 20]\): \(P = \dfrac{5}{20} = 0{,}25\). Ответ: 50 и 5; 0,25.

Лайфхак. Задачи на нормальное распределение в школе решают только правилом трёх сигм: переведите границы в «сигмы от среднего» и используйте числа 68 %, 95 %, 99,7 % и симметрию. Таблицы функции Лапласа на ЕГЭ не нужны.

Типичная ошибка. Для биномиального распределения берут \(\sigma = npq\) вместо \(\sqrt{npq}\). Дисперсия — \(npq\), стандартное отклонение — корень из неё.

На ЕГЭ. Задание 6: «Случайная величина имеет биномиальное распределение с \(n = 20\), \(p = 0{,}3\); найдите математическое ожидание» (ответ 6); «равномерно распределена на \([2; 8]\); найдите вероятность попасть в \([3; 5]\)» (ответ \(\dfrac13\)); нормальное — через правило трёх сигм.

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward