Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины измеряет разброс её значений вокруг математического ожидания: средний квадрат отклонения. Стандартное отклонение — корень из дисперсии — измеряется в тех же единицах, что и сама величина.
Формулы. \[D(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{D(X)}.\] \(E(X^2) = x_1^2 p_1 + \dots + x_n^2 p_n\). Свойства: \(D(aX + b) = a^2 D(X)\); \(D(X + Y) = D(X) + D(Y)\) для независимых \(X\), \(Y\); \(D(C) = 0\). Схема Бернулли: \(D = npq\).
Как это работает. Случайная величина \(X\) принимает значения \(0, 1, 2\) с вероятностями \(0{,}2\), \(0{,}5\), \(0{,}3\). Найдём \(E(X)\), \(D(X)\) и \(\sigma(X)\).
- \(E(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 = 1{,}1\).
- \(E(X^2) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}3 = 1{,}7\); \(D(X) = 1{,}7 - 1{,}21 = 0{,}49\).
- \(\sigma(X) = 0{,}7\). Ответ: \(1{,}1\); \(0{,}49\); \(0{,}7\).
Ещё пример. Дисперсия случайной величины \(X\) равна 3. Найдите дисперсию величин \(2X + 5\) и \(-X\).
Решение. \(D(2X + 5) = 4 \cdot 3 = 12\); \(D(-X) = (-1)^2 \cdot 3 = 3\). Ответ: 12; 3.
Лайфхак. Считайте дисперсию через \(E(X^2) - E(X)^2\): это один столбец квадратов в таблице вместо столбца отклонений с дробями. Проверка: дисперсия неотрицательна, а \(\sigma\) не больше половины размаха значений.
Типичная ошибка. \(D(X + Y) = D(X) + D(Y)\) применяют к зависимым величинам, а \(D(aX)\) считают равной \(aD(X)\). Множитель выходит в квадрате, а сложение дисперсий — только для независимых величин.
На ЕГЭ. Задание 6: «Найдите дисперсию случайной величины по таблице», «Стандартное отклонение величины \(X\) равно 2; найдите стандартное отклонение \(3X - 1\)» (ответ 6).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward