Случайная величина и математическое ожидание

Случайная величина — числовая величина, значение которой зависит от исхода опыта: число очков на кубике, выигрыш в лотерее, число попаданий. Дискретную величину задают таблицей: значения и их вероятности. Математическое ожидание — её среднее значение «в долгой серии».

Как это работает. Лотерейный билет стоит 100 рублей. С вероятностью 0,01 он выигрывает 2000 рублей, с вероятностью 0,1 — 200 рублей, иначе ничего. Найдём математическое ожидание выигрыша и чистого дохода игрока.

1. Закон распределения выигрыша: \(2000\) — \(0{,}01\); \(200\) — \(0{,}1\); \(0\) — \(0{,}89\). Сумма вероятностей \(1\).
2. \(E = 2000 \cdot 0{,}01 + 200 \cdot 0{,}1 + 0 = 20 + 20 = 40\) рублей.
3. Чистый доход — выигрыш минус цена билета: \(E = 40 - 100 = -60\) рублей: в среднем игрок теряет 60 рублей с билета. Ответ: 40 рублей; \(-60\) рублей.

Ещё пример. Найдите математическое ожидание числа очков при броске игрального кубика и неизвестную вероятность в таблице: \(X\): 1, 2, 3 с вероятностями \(0{,}2\), \(p\), \(0{,}5\).
Решение. Кубик: \(\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\). Таблица: \(0{,}2 + p + 0{,}5 = 1\), \(p = 0{,}3\). Ответ: 3,5; 0,3.