Схема Бернулли
Серия из \(n\) одинаковых независимых испытаний с двумя исходами («успех» с вероятностью \(p\), «неудача» с вероятностью \(q = 1 - p\)) — схема Бернулли. Вероятность ровно \(k\) успехов равна вероятности одной конкретной последовательности, умноженной на число таких последовательностей.
Формула. \[P_n(k) = C_n^k\, p^k\, q^{n - k}, \qquad q = 1 - p.\] «Не менее \(k\) успехов» — сумма \(P_n(k) + P_n(k + 1) + \dots + P_n(n)\); часто короче через противоположное событие. Для симметричной монеты \(p = q = \dfrac12\) и \(P_n(k) = \dfrac{C_n^k}{2^n}\).
Как это работает. Монету бросают 5 раз. Найдём вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
- \(n = 5\), \(k = 2\), \(p = q = \dfrac12\).
- Число последовательностей с двумя орлами: \(C_5^2 = 10\). Вероятность каждой: \(\left(\dfrac12\right)^5 = \dfrac{1}{32}\).
- \(P = \dfrac{10}{32} = 0{,}3125\). Ответ: 0,3125.
Ещё пример. Стрелок попадает с вероятностью 0,8. Найдите вероятность того, что из 4 выстрелов он попадёт ровно 3 раза.
Решение. \(P = C_4^3 \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2 = 4 \cdot 0{,}512 \cdot 0{,}2 = 0{,}4096\). Ответ: 0,4096.
Лайфхак. Проверяйте множитель \(C_n^k\): это ответ на вопрос «сколькими способами выбрать, в каких \(k\) испытаниях из \(n\) был успех». Для «ровно 0» и «ровно \(n\)» он равен 1 — формула превращается в простое произведение.
Типичная ошибка. Забывают \(C_n^k\): вероятность «ровно 2 орла из 5» не \(\dfrac{1}{32}\), а в 10 раз больше. Без биномиального коэффициента получается вероятность одной конкретной последовательности.
На ЕГЭ. Задание 4–5: «Монету бросают 4 раза; найдите вероятность, что орёл выпадет ровно 2 раза» (ответ 0,375); «Стрелок стреляет 5 раз; вероятность ровно 4 попаданий». В задании 6 схема Бернулли задаёт биномиальное распределение.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward