Формула Байеса

Формула Байеса переворачивает вопрос: известно, что событие произошло, — какова вероятность, что причиной была та или иная гипотеза? Это та же формула условной вероятности, в знаменателе которой стоит полная вероятность события.

Как это работает. Стекло (из предыдущего урока: первая фабрика 45 %, брак 3 %; вторая 55 %, брак 1 %) оказалось бракованным. Найдём вероятность того, что оно с первой фабрики.

1. Путь «первая фабрика → брак»: \(0{,}45 \cdot 0{,}03 = 0{,}0135\).
2. Все пути к браку: \(0{,}019\) (полная вероятность).
3. \(P = \dfrac{0{,}0135}{0{,}019} = \dfrac{135}{190} = \dfrac{27}{38} \approx 0{,}71\). Бракованное стекло скорее с первой фабрики, хотя она выпускает меньше половины стёкол. Ответ: \(\dfrac{27}{38}\).

Ещё пример. Тест на заболевание даёт положительный результат у 99 % больных и у 2 % здоровых. Болен 1 % населения. Тест случайного человека положителен; какова вероятность, что он болен?
Решение. Путь «болен → плюс»: \(0{,}01 \cdot 0{,}99 = 0{,}0099\). Путь «здоров → плюс»: \(0{,}99 \cdot 0{,}02 = 0{,}0198\). \(P = \dfrac{0{,}0099}{0{,}0099 + 0{,}0198} = \dfrac{1}{3}\). Ответ: \(\dfrac13\).