Отношения объёмов, подобие и сечения

Подобные тела: при коэффициенте подобия \(k\) площади поверхностей относятся как \(k^2\), объёмы — как \(k^3\). Плоскость, параллельная основанию пирамиды и проходящая через середину высоты, отсекает пирамиду, подобную исходной с \(k = \dfrac12\): её объём в 8 раз меньше.

Отношения объёмов: пирамиды с общей высотой относятся как площади оснований; пирамиды с общим основанием — как высоты. Если на рёбрах \(SA\), \(SB\), \(SC\) треугольной пирамиды взяты точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), то

\[\dfrac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}} = \dfrac{SA_1}{SA} \cdot \dfrac{SB_1}{SB} \cdot \dfrac{SC_1}{SC}.\]

Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах. Строят его, соединяя точки в одной грани, используя параллельность граней и находя следы на продолжениях рёбер. Площадь сечения считают по формулам планиметрии или через проекцию: \(S_{\text{сеч}} = \dfrac{S_{\text{проекции}}}{\cos\varphi}\), где \(\varphi\) — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Пример. Объём пирамиды \(SABC\) равен 60. На рёбрах \(SA\) и \(SB\) взяты середины \(M\) и \(N\). Найдите объём пирамиды \(SMNC\).
Решение. \(60 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac12 \cdot 1 = 15\).

Пример. Объём правильной пирамиды равен 48. Плоскость, параллельная основанию, делит высоту в отношении \(1 : 3\), считая от вершины. Найдите объём отсечённой (верхней) пирамиды.
Решение. \(k = \dfrac14\), объём \(48 \cdot \dfrac{1}{64} = 0{,}75\).

Пример. Найдите площадь сечения куба с ребром 2 плоскостью, проходящей через диагональ \(BD\) основания и середину \(M\) ребра \(CC_1\).
Решение. Сечение — треугольник \(BDM\) с \(BD = 2\sqrt2\), \(BM = DM = \sqrt5\); высота к \(BD\) равна \(\sqrt{5 - 2} = \sqrt3\), площадь \(\dfrac12 \cdot 2\sqrt2 \cdot \sqrt3 = \sqrt6\).