Пирамида

Пирамида — многогранник с многоугольником в основании и вершиной, соединённой с его вершинами. Правильная пирамида: основание — правильный многоугольник, вершина проецируется в его центр; боковые грани — равные равнобедренные треугольники, их высота — апофема \(l\).

\[V = \dfrac13 S_{\text{осн}} h, \qquad S_{\text{бок}} = \dfrac12 P_{\text{осн}} \cdot l \ \text{(правильная пирамида)}.\]

Куда проецируется вершина: если боковые рёбра равны (или равно наклонены к основанию) — в центр описанной окружности основания; если боковые грани равно наклонены к основанию — в центр вписанной окружности; если одна боковая грань перпендикулярна основанию — на сторону основания.

Пример. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, боковое ребро 5. Найдите объём.
Решение. Половина диагонали основания \(3\sqrt2\), высота \(\sqrt{25 - 18} = \sqrt7\), \(V = \dfrac13 \cdot 36 \cdot \sqrt7 = 12\sqrt7\).

Пример. В правильной треугольной пирамиде сторона основания 6, апофема 5. Найдите площадь боковой поверхности.
Решение. \(\dfrac12 \cdot 18 \cdot 5 = 45\).

Пример. В прямоугольном параллелепипеде \(AB = 9\), \(BC = 6\), \(AA_1 = 5\). Найдите объём многогранника с вершинами \(A, B, C, B_1\).
Решение. Это пирамида с основанием \(ABC\) (половина прямоугольника, \(27\)) и высотой \(BB_1 = 5\): \(V = \dfrac13 \cdot 27 \cdot 5 = 45\).