Призма и параллелепипед
Призма — многогранник с двумя равными параллельными основаниями и боковыми гранями-параллелограммами. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям, у правильной — ещё и основание правильный многоугольник. Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании; у прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники, у куба — квадраты.
| Тело | Объём | Поверхность и диагонали |
|---|---|---|
| Призма | \(V = S_{\text{осн}} h\) | боковая поверхность прямой призмы \(P_{\text{осн}} h\) |
| Прямоугольный параллелепипед \(a \times b \times c\) | \(V = abc\) | \(S = 2(ab + bc + ca)\); диагональ \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) |
| Куб с ребром \(a\) | \(a^3\) | \(6a^2\); диагональ \(a\sqrt3\), диагональ грани \(a\sqrt2\) |
| Правильная треугольная призма | \(\dfrac{a^2\sqrt3}{4} h\) | боковая \(3ah\) |
| Правильная шестиугольная призма | \(\dfrac{3a^2\sqrt3}{2} h\) | большая диагональ основания \(2a\), меньшая \(a\sqrt3\) |
Пример. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 13, а два ребра — 3 и 4.
Решение. Третье ребро \(\sqrt{169 - 9 - 16} = 12\), \(V = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144\).
Пример. Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в 3 раза?
Решение. В \(3^3 = 27\) раз; площадь поверхности — в 9 раз.
Пример. В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все рёбра равны 1. Найдите расстояние между точками \(A\) и \(D_1\).
Решение. \(AD = 2\) (большая диагональ), \(AD_1 = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5\).
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward