Отношения отрезков и площадей
Во многих задачах 18 не нужны сами длины и площади — достаточно их отношений. Основные инструменты:
| Факт | Формула |
|---|---|
| Биссектриса \(BL\) треугольника \(ABC\) | \(\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}\) |
| Треугольники с общей высотой | площади относятся как основания |
| Треугольники с общим углом | \(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \dfrac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}\) |
| Подобные треугольники | площади относятся как \(k^2\) |
| Теорема Менелая: прямая пересекает стороны \(AB\), \(BC\) и продолжение \(CA\) в точках \(M\), \(K\), \(N\) | \(\dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BK}{KC} \cdot \dfrac{CN}{NA} = 1\) |
Пример. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 6\), \(BC = 9\), \(AC = 10\), \(BL\) — биссектриса. Найдите \(AL\).
Решение. \(\dfrac{AL}{LC} = \dfrac69 = \dfrac23\), \(AL = \dfrac25 \cdot 10 = 4\).
Пример. На сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) площади 40 взяты точки \(M\) и \(N\), причём \(AM : MB = 2 : 3\), \(AN = NC\). Найдите площадь треугольника \(AMN\).
Решение. У треугольников общий угол \(A\): \(S_{AMN} = \dfrac25 \cdot \dfrac12 \cdot 40 = 8\).
Пример. В треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(AM\), точка \(K\) на стороне \(AC\) делит её в отношении \(AK : KC = 1 : 2\). Отрезок \(BK\) пересекает \(AM\) в точке \(O\). Найдите \(AO : OM\).
Решение. Теорема Менелая для треугольника \(AMC\) и прямой \(BK\): \(\dfrac{AO}{OM} \cdot \dfrac{MB}{BC} \cdot \dfrac{CK}{KA} = 1\), то есть \(\dfrac{AO}{OM} \cdot \dfrac12 \cdot 2 = 1\), \(AO : OM = 1 : 1\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward