Первообразная: таблица и правила
Первообразная — действие, обратное дифференцированию: функция \(F\) называется первообразной для \(f\), если \(F' = f\). Если скорость известна, первообразная восстанавливает пройденный путь. У функции бесконечно много первообразных, отличающихся постоянным слагаемым.
Определение и таблица. \(F'(x) = f(x) \Rightarrow F(x) + C\) — общий вид первообразных. \[x^n \to \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}\;(n \ne -1), \quad \dfrac1x \to \ln|x|, \quad e^x \to e^x, \quad a^x \to \dfrac{a^x}{\ln a}, \quad \sin x \to -\cos x, \quad \cos x \to \sin x, \quad \dfrac{1}{\cos^2 x} \to \operatorname{tg} x.\] Правила: первообразная суммы — сумма первообразных; постоянный множитель выносится; для \(f(kx + b)\) первообразная равна \(\dfrac{1}{k}F(kx + b)\).
Как это работает. Найдём общий вид первообразных для функции \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\) и проверим ответ.
- Почленно: \(3x^2 \to 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} = x^3\); \(-4x \to -4 \cdot \dfrac{x^2}{2} = -2x^2\); \(5 \to 5x\).
- \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C\).
- Проверка дифференцированием: \(F'(x) = 3x^2 - 4x + 5 = f(x)\). Ответ: \(x^3 - 2x^2 + 5x + C\).
Ещё пример. Найдите первообразную функции \(f(x) = \cos 2x + e^{3x}\).
Решение. \(\cos 2x \to \dfrac12\sin 2x\); \(e^{3x} \to \dfrac13 e^{3x}\). \(F(x) = \dfrac12\sin 2x + \dfrac13 e^{3x} + C\). Проверка: \(F' = \cos 2x + e^{3x}\). Ответ: \(\dfrac12\sin 2x + \dfrac13 e^{3x} + C\).
Лайфхак. Правило степени для первообразной — «показатель увеличить на 1 и на новый показатель разделить». Всегда проверяйте первообразную дифференцированием: это занимает секунды и ловит ошибки в коэффициентах.
Типичная ошибка. Для \(\sin x\) пишут первообразную \(\cos x\) без минуса; для \(f(kx + b)\) забывают множитель \(\dfrac1k\): первообразная \(\cos 2x\) — это \(\dfrac12\sin 2x\), а не \(\sin 2x\).
На ЕГЭ. Первообразная встречается в задании 9: «На рисунке изображён график функции \(y = F(x)\) — одной из первообразных функции \(f\). Найдите количество решений уравнения \(f(x) = 0\) на отрезке» — это число точек экстремума графика \(F\).
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward