Первообразная через заданную точку
Из бесконечного семейства первообразных одну выделяют дополнительным условием — обычно точкой, через которую должен пройти её график. Подстановка координат точки даёт уравнение относительно постоянной \(C\).
Алгоритм. 1) Найти общий вид \(F(x) + C\). 2) Подставить координаты точки \((x_0; y_0)\): \(F(x_0) + C = y_0\). 3) Найти \(C\) и записать конкретную первообразную. Графики всех первообразных — одна кривая, сдвинутая по вертикали; через каждую точку плоскости проходит ровно одна из них.
Как это работает. Для функции \(f(x) = 2x + 3\) найдём первообразную, график которой проходит через точку \((1; 7)\).
- Общий вид: \(F(x) = x^2 + 3x + C\).
- Подставляем: \(1 + 3 + C = 7\), откуда \(C = 3\).
- Ответ: \(F(x) = x^2 + 3x + 3\). Проверка: \(F(1) = 7\), \(F'(x) = 2x + 3\).
Ещё пример. На рисунке график первообразной \(F\) функции \(f\) проходит через точки \((0; 2)\) и \((3; 5)\). Найдите \(F(3) - F(0)\).
Решение. Разность значений первообразной читается с графика: \(5 - 2 = 3\). Постоянная \(C\) на разность не влияет. Ответ: 3.
Лайфхак. Разность \(F(b) - F(a)\) одинакова для всех первообразных: постоянная \(C\) сокращается. Поэтому в задачах про «одну из первообразных» часто спрашивают именно разность или число экстремумов — величины, не зависящие от \(C\).
Типичная ошибка. Находят \(C\), подставляя точку в \(f\), а не в \(F\). Точка лежит на графике первообразной — подставлять нужно в \(F(x) + C\).
На ЕГЭ. Задание 9 с первообразной: по графику \(F\) найти \(F(b) - F(a)\) (это площадь под графиком \(f\), следующий урок) или число нулей \(f\) на отрезке — число точек, где касательная к графику \(F\) горизонтальна.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward