Определённый интеграл и формула Ньютона — Лейбница
Определённый интеграл \(\int_a^b f(x)\,dx\) — число, равное площади криволинейной трапеции под графиком неотрицательной функции \(f\) на отрезке \([a; b]\). Вычисляют его через первообразную: разность её значений на концах отрезка.
Формула Ньютона — Лейбница. \[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \qquad F' = f.\] Свойства: \(\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g\); \(\int_a^b kf = k\int_a^b f\); \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\); \(\int_a^a f = 0\). Если \(f \ge 0\) на \([a; b]\), интеграл равен площади под графиком; если \(f \le 0\), интеграл отрицателен и равен площади со знаком минус.
Как это работает. Вычислим \(\int_1^3 (x^2 + 1)\,dx\).
- Первообразная: \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x\).
- \(F(3) = 9 + 3 = 12\); \(F(1) = \dfrac13 + 1 = \dfrac43\).
- \(F(3) - F(1) = 12 - \dfrac43 = \dfrac{32}{3}\). Ответ: \(\dfrac{32}{3}\).
Ещё пример. Вычислите \(\int_0^{\pi} \sin x\,dx\) и \(\int_0^{2\pi} \sin x\,dx\).
Решение. \(F(x) = -\cos x\). Первый: \(-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2\). Второй: \(-\cos 2\pi + \cos 0 = -1 + 1 = 0\) — площади над осью и под осью взаимно уничтожились. Ответ: 2; 0.
Лайфхак. Записывайте вычисление в виде \(F(x)\Big|_a^b\): сначала подставьте верхний предел, потом нижний, и вычтите. Постоянную \(C\) не пишите — она сокращается.
Типичная ошибка. Меняют местами пределы: \(F(a) - F(b)\) даёт ответ с противоположным знаком. Верхний предел — первый.
На ЕГЭ. Интеграл в кодификаторе есть (КЭС 4.3), но в части 1 его спрашивают через площадь по графику первообразной: «найдите \(F(b) - F(a)\)», или площадь фигуры под графиком, составленной из клеток.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward