Площадь фигуры под графиком

11 заданий

Площадь криволинейной трапеции — фигуры между графиком \(y = f(x) \ge 0\), осью абсцисс и прямыми \(x = a\), \(x = b\) — равна интегралу. На клетчатом рисунке площадь ломаной фигуры считают по клеткам, а площадь между двумя графиками — как интеграл разности.

Формулы. \[S = \int_a^b f(x)\,dx \;(f \ge 0); \qquad S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \;(f \ge g \text{ на } [a; b]).\] Если график ниже оси, берут \(-\int_a^b f\). По графику первообразной: площадь под \(f\) на \([a; b]\) равна \(F(b) - F(a)\). Площадь фигуры из клеток — по формуле трапеции, Пику или разбиением на прямоугольники и треугольники.

Как это работает. Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = 4 - x^2\) и осью абсцисс.

Нули параболы: \(x = \pm 2\); на \([-2; 2]\) функция неотрицательна.
\(S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left(4x - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{2} = \left(8 - \dfrac83\right) - \left(-8 + \dfrac83\right) = 16 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3}\).
Проверка: фигура вписана в прямоугольник \(4 \times 4\) площади 16 и занимает его две трети — свойство параболы (Архимед). Ответ: \(\dfrac{32}{3}\).

Ещё пример. Найдите площадь фигуры между графиками \(y = x^2\) и \(y = x\).
Решение. Точки пересечения: \(x^2 = x\), \(x = 0\) и \(x = 1\); на \([0; 1]\) прямая выше параболы. \(S = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 = \dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16\). Ответ: \(\dfrac16\).

Лайфхак. Площадь параболического сегмента равна \(\dfrac23\) площади описанного прямоугольника — быстрая проверка интеграла от квадратичной функции. Площадь между параболой \(y = ax^2 + bx + c\) и прямой через её точки пересечения \(x_1 \lt x_2\): \(\dfrac{|a|(x_2 - x_1)^3}{6}\).

Типичная ошибка. Берут интеграл функции, меняющей знак на отрезке, как площадь: части ниже оси вычитаются. Площадь считают по кускам, беря модуль каждого.

На ЕГЭ. Задание 9: «На рисунке изображён график \(y = F(x)\) первообразной функции \(f\). Найдите площадь закрашенной фигуры под графиком \(f\) на отрезке \([a; b]\)» — ответ \(F(b) - F(a)\), читается по двум точкам графика \(F\).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward