Показательная функция y = aˣ
Показательная функция описывает процессы, в которых величина за равные промежутки времени умножается на одно и то же число: рост вклада, размножение бактерий, радиоактивный распад. Её график — кривая, которая прижимается к оси абсцисс с одной стороны и круто уходит вверх с другой.
Свойства \(y = a^x\), \(a \gt 0\), \(a \ne 1\): \(D = \mathbb R\), \(E = (0; +\infty)\); график проходит через точку \((0; 1)\); при \(a \gt 1\) функция возрастает, при \(0 \lt a \lt 1\) убывает; ось \(Ox\) — горизонтальная асимптота; нулей нет, функция не чётная и не нечётная. Графики \(y = a^x\) и \(y = \left(\dfrac1a\right)^x = a^{-x}\) симметричны относительно оси \(Oy\). Число \(e \approx 2{,}718\) — основание, при котором касательная в точке \((0; 1)\) наклонена под \(45^\circ\).
Как это работает. Сравним числа \(0{,}4^{-1{,}2}\), \(0{,}4^{0{,}3}\) и 1.
- Функция \(y = 0{,}4^x\) убывает (основание меньше 1) и в нуле равна 1.
- При \(x = 0{,}3 \gt 0\) значение меньше 1: \(0{,}4^{0{,}3} \lt 1\). При \(x = -1{,}2 \lt 0\) значение больше 1: \(0{,}4^{-1{,}2} \gt 1\).
- Ответ: \(0{,}4^{0{,}3} \lt 1 \lt 0{,}4^{-1{,}2}\).
Ещё пример. Найдите множество значений функции \(y = 3^x - 5\) и укажите, при каком \(x\) она равна 4.
Решение. \(3^x \gt 0\), поэтому \(y \gt -5\): \(E = (-5; +\infty)\). \(3^x - 5 = 4\), \(3^x = 9\), \(x = 2\). Ответ: \((-5; +\infty)\); \(x = 2\).
Лайфхак. Чтобы сравнить степень с единицей, посмотрите на два знака: основание больше или меньше 1 и показатель положителен или отрицателен. Одинаковые «направления» (\(a \gt 1\), \(x \gt 0\) или \(a \lt 1\), \(x \lt 0\)) дают число больше 1, разные — меньше 1.
Типичная ошибка. Считают, что показательная функция может быть равна нулю «при очень больших отрицательных \(x\)». Она лишь приближается к нулю, но не достигает его: уравнение \(2^x = 0\) корней не имеет.
На ЕГЭ. Задание 12: по графику \(y = a^x\) через точку \((2; 9)\) находят \(a = 3\). Монотонность показательной функции — обоснование перехода к показателям в заданиях 7 и 15 и единственности корня в задании 19.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward