Логарифмическая функция y = logₐ x
Логарифмическая функция обратна показательной: она отвечает на вопрос «в какую степень возвести \(a\), чтобы получить \(x\)». Поэтому она определена только для положительных \(x\), растёт медленно и проходит через точку \((1; 0)\).
Свойства \(y = \log_a x\), \(a \gt 0\), \(a \ne 1\): \(D = (0; +\infty)\), \(E = \mathbb R\); график проходит через \((1; 0)\) и \((a; 1)\); при \(a \gt 1\) функция возрастает, при \(0 \lt a \lt 1\) убывает; ось \(Oy\) — вертикальная асимптота; единственный нуль \(x = 1\). Знак: при \(a \gt 1\) логарифм положителен для \(x \gt 1\) и отрицателен для \(0 \lt x \lt 1\); при \(0 \lt a \lt 1\) — наоборот.
Как это работает. Определим знаки чисел \(\log_2 0{,}3\), \(\log_{0{,}5} 0{,}3\) и \(\log_{0{,}5} 7\).
- \(\log_2 0{,}3\): основание больше 1, аргумент меньше 1 — отрицательно.
- \(\log_{0{,}5} 0{,}3\): основание и аргумент оба меньше 1 — положительно (убывающая функция, аргумент левее 1 — значение выше нуля).
- \(\log_{0{,}5} 7\): основание меньше 1, аргумент больше 1 — отрицательно. Ответ: \(-\), \(+\), \(-\).
Ещё пример. Найдите область определения функции \(y = \log_3(5 - 2x)\) и точку пересечения её графика с осью абсцисс.
Решение. \(5 - 2x \gt 0\), \(x \lt 2{,}5\). Нуль: \(5 - 2x = 1\), \(x = 2\). Ответ: \((-\infty; 2{,}5)\); точка \((2; 0)\).
Лайфхак. Знак логарифма определяется тем же правилом «одинаковых направлений», что и сравнение степени с единицей: основание и аргумент по одну сторону от 1 — логарифм положителен, по разные — отрицателен.
Типичная ошибка. Пишут область определения логарифмической функции как \(x \ge 0\) или как \(x \ne 0\). Логарифм нуля не существует: \(x \gt 0\), строго.
На ЕГЭ. Задание 12: график \(y = \log_a x\) через точку \((8; 3)\) даёт \(a = 2\). Свойство «логарифм отрицателен между 0 и 1» нужно при отборе корней и в неравенствах задания 15.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward