Симметрия графиков и сравнение чисел
Графики \(y = a^x\) и \(y = \log_a x\) симметричны относительно прямой \(y = x\): это графики взаимно обратных функций. Монотонность обеих функций позволяет сравнивать числа, не вычисляя их.
Правила сравнения. При \(a \gt 1\): \(a^{x_1} \lt a^{x_2} \iff x_1 \lt x_2\) и \(\log_a x_1 \lt \log_a x_2 \iff x_1 \lt x_2\); при \(0 \lt a \lt 1\) оба неравенства меняют направление. Для разных оснований сравнивают с «посредником» — обычно с 0 или 1: \(\log_2 3 \gt 1 \gt \log_3 2\). Точка \((p; q)\) на графике \(a^x\) означает точку \((q; p)\) на графике \(\log_a x\).
Как это работает. Сравним \(\log_3 5\) и \(\log_5 3\), а также \(\log_{0{,}2} 3\) и \(\log_{0{,}2} 5\).
- \(\log_3 5 \gt \log_3 3 = 1\), а \(\log_5 3 \lt \log_5 5 = 1\). Значит, \(\log_3 5 \gt \log_5 3\).
- Основание \(0{,}2 \lt 1\): функция убывает, большему аргументу отвечает меньшее значение: \(\log_{0{,}2} 5 \lt \log_{0{,}2} 3\).
- Ответ: \(\log_3 5 \gt \log_5 3\); \(\log_{0{,}2} 3 \gt \log_{0{,}2} 5\).
Ещё пример. График \(y = 2^x\) проходит через точку \((5; 32)\). Через какую точку обязательно проходит график \(y = \log_2 x\)?
Решение. У обратной функции координаты меняются местами: \((32; 5)\). Проверка: \(\log_2 32 = 5\). Ответ: \((32; 5)\).
Лайфхак. Сравнивая логарифмы с разными основаниями, найдите целое число между ними: \(\log_2 10\) больше 3, а \(\log_3 10\) меньше 3 (так как \(3^3 = 27 \gt 10\)). Посредник 3 решает сравнение без вычислений.
Типичная ошибка. Применяют правило «больше аргумент — больше логарифм» при основании меньше 1. Для убывающего логарифма направление неравенства меняется.
На ЕГЭ. Сравнение чисел через монотонность — обоснование отбора корней в пункте б) задания 14: «\(\log_2 10 \lt 4\), так как \(10 \lt 16\) и функция \(\log_2 x\) возрастает».
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward