Задание 12: графики y = aˣ⁺ᵇ + c и y = logₐ(x + b) + c
В задании 12 график показательной или логарифмической функции задан рисунком, а в формуле один-два неизвестных параметра. Их находят по асимптоте и по точкам в узлах клетки, а затем вычисляют требуемое значение.
Схема. Для \(y = a^{x + b} + c\): горизонтальная асимптота \(y = c\); точка, где \(x + b = 0\), имеет ординату \(c + 1\) — это даёт \(b\); ещё одна точка даёт \(a\). Для \(y = \log_a(x + b) + c\): вертикальная асимптота \(x = -b\); точка, где \(x + b = 1\), имеет ординату \(c\); ещё одна точка даёт \(a\). Если параметр один (например, только \(a\)), достаточно одной точки с целыми координатами.
Как это работает. График функции \(y = a^{x + b}\) проходит через точки \((1; 1)\) и \((3; 9)\). Найдём \(a\), \(b\) и \(f(0)\).
- Значение 1 достигается при нулевом показателе: \(1 + b = 0\), \(b = -1\). Формула: \(y = a^{x - 1}\).
- Точка \((3; 9)\): \(a^{2} = 9\), \(a = 3\).
- \(f(0) = 3^{-1} = \dfrac13\). Ответ: \(a = 3\), \(b = -1\), \(f(0) = \dfrac13\).
Ещё пример. График функции \(y = \log_a(x + b)\) имеет вертикальную асимптоту \(x = -2\) и проходит через точку \((6; 3)\). Найдите \(f(14)\).
Решение. Асимптота: \(x + b = 0\) при \(x = -2\), значит, \(b = 2\). Точка: \(\log_a 8 = 3\), \(a = 2\). \(f(14) = \log_2 16 = 4\). Ответ: 4.
Лайфхак. Ищите на рисунке «особую» точку: у показательной функции — где график пересекает уровень \(c + 1\) (показатель равен нулю), у логарифмической — где он пересекает уровень \(c\) (аргумент равен 1). Эта точка даёт сдвиг \(b\) без вычислений.
Типичная ошибка. Для \(y = \log_a(x + b)\) записывают асимптоту \(x = b\). Знаменатель «обнуляется» при \(x = -b\): знак противоположный.
На ЕГЭ. Типовые формулировки задания 12: «график функции \(f(x) = a^{x} + b\), найдите \(f(5)\)»; «график \(f(x) = \log_a(x + b)\), найдите \(f(2)\)». Ответ — число; промежуточно найденные \(a\) и \(b\) целые или простые дроби.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward