Показательные неравенства: основание больше или меньше 1
Показательное неравенство решают переходом к показателям. Направление знака зависит от основания: функция \(y = a^x\) возрастает при \(a \gt 1\) и убывает при \(0 \lt a \lt 1\). В первом случае большей степени отвечает больший показатель, во втором — меньший.
Правило. \[a \gt 1:\quad a^{f(x)} \gt a^{g(x)} \iff f(x) \gt g(x); \qquad 0 \lt a \lt 1:\quad a^{f(x)} \gt a^{g(x)} \iff f(x) \lt g(x).\] Число справа записывают как степень основания: \(a^{f(x)} \gt a^{c}\). Показательная функция положительна, поэтому \(a^{f(x)} \gt -5\) верно при всех \(x\), а \(a^{f(x)} \lt 0\) решений не имеет.
Как это работает. Решим неравенство \(\left(\dfrac13\right)^{x - 4} \ge 9\).
- Записываем \(9 = \left(\dfrac13\right)^{-2}\): \(\left(\dfrac13\right)^{x - 4} \ge \left(\dfrac13\right)^{-2}\).
- Основание меньше 1 — знак меняется: \(x - 4 \le -2\).
- \(x \le 2\). Проверка при \(x = 0\): \(\left(\dfrac13\right)^{-4} = 81 \ge 9\). Ответ: \((-\infty; 2]\).
Ещё пример. Найдите наибольшее целое решение неравенства \(3^{x - 4} \lt 1\).
Решение. \(1 = 3^0\), основание больше 1: \(x - 4 \lt 0\), \(x \lt 4\). Наибольшее целое — 3. Ответ: 3.
Лайфхак. Основание меньше 1 переверните сразу: \(\left(\dfrac13\right)^{x - 4} = 3^{4 - x}\). Тогда все основания больше 1, и знак неравенства никогда не меняется при переходе к показателям; минус перед показателем сам выполнит «переворот».
Типичная ошибка. Переходят к показателям, не меняя знак при основании меньше 1: из \(0{,}5^x \gt 0{,}5^3\) получают \(x \gt 3\). Проверка \(x = 4\): \(0{,}0625 \gt 0{,}125\) — неверно. Правильно \(x \lt 3\).
На ЕГЭ. Показательные неравенства — часть задания 15 (обычно с заменой или в составе дроби). В заданиях 17 и 19 монотонность показательной функции используют для обоснования единственности корня.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward