Показательные неравенства с заменой
Если в неравенстве есть \(a^{2x}\) и \(a^x\), делают замену \(t = a^x \gt 0\) и получают квадратное или дробно-рациональное неравенство относительно \(t\). Решив его, учитывают условие \(t \gt 0\) и возвращаются к \(x\) с учётом монотонности.
Алгоритм. 1) Замена \(t = a^x\), \(t \gt 0\). 2) Решить неравенство для \(t\) методом интервалов. 3) Пересечь решение с \(t \gt 0\). 4) Вернуться к \(x\): \(t \lt c\) при \(c \gt 0\) и \(a \gt 1\) даёт \(x \lt \log_a c\); условие \(t \lt c \le 0\) решений не имеет; \(t \gt c \le 0\) выполняется при всех \(x\).
Как это работает. Решим неравенство \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \le 0\).
- \(t = 2^x \gt 0\): \(t^2 - 5t + 4 \le 0\), \((t - 1)(t - 4) \le 0\), \(1 \le t \le 4\). Условие \(t \gt 0\) выполнено.
- Возвращаемся: \(1 \le 2^x \le 4\), то есть \(2^0 \le 2^x \le 2^2\).
- Основание больше 1: \(0 \le x \le 2\). Ответ: \([0; 2]\).
Ещё пример. Решите неравенство \(\dfrac{3^x - 9}{3^x - 1} \le 0\).
Решение. \(t = 3^x \gt 0\): \(\dfrac{t - 9}{t - 1} \le 0\), \(1 \lt t \le 9\). Тогда \(3^0 \lt 3^x \le 3^2\), \(0 \lt x \le 2\). Ответ: \((0; 2]\).
Лайфхак. При возврате к \(x\) записывайте границы для \(t\) как степени основания: \(1 \le t \le 4\) превращается в \(2^0 \le 2^x \le 2^2\), и показатели читаются сразу. Отрицательная граница (\(t \ge -3\)) исчезает: она слабее условия \(t \gt 0\).
Типичная ошибка. Записывают ответ в терминах \(t\) или переносят границы на \(x\) без логарифмирования: из \(1 \le t \le 4\) пишут \(1 \le x \le 4\).
На ЕГЭ. Задание 15: \(\dfrac{25^x - 7 \cdot 5^x + 10}{5^x - 1} \le 0\), \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \gt 0\). Границы вида \(t \lt 10\) дают ответ с логарифмом: \(x \lt \log_3 10\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward