Простейшие логарифмические неравенства
Логарифмическое неравенство \(\log_a f(x) \gt b\) решают так: число \(b\) записывают как \(\log_a a^b\), переходят к аргументам с учётом основания и обязательно добавляют ОДЗ \(f(x) \gt 0\). В неравенствах, в отличие от уравнений, ОДЗ не следует из результата.
Правило. \[a \gt 1:\quad \log_a f(x) \gt b \iff f(x) \gt a^b; \qquad \log_a f(x) \lt b \iff 0 \lt f(x) \lt a^b.\] \[0 \lt a \lt 1:\quad \log_a f(x) \gt b \iff 0 \lt f(x) \lt a^b; \qquad \log_a f(x) \lt b \iff f(x) \gt a^b.\] Условие \(f(x) \gt 0\) нужно всегда; в случаях \(f(x) \gt a^b \gt 0\) оно выполняется само.
Как это работает. Решим неравенство \(\log_2(x - 3) \lt 2\).
- ОДЗ: \(x - 3 \gt 0\), \(x \gt 3\).
- \(2 = \log_2 4\); основание больше 1, знак сохраняется: \(x - 3 \lt 4\), \(x \lt 7\).
- Пересекаем с ОДЗ: \(3 \lt x \lt 7\). Ответ: \((3; 7)\).
Ещё пример. Решите неравенство \(\log_{0{,}5}(2x + 1) \ge -3\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt -\dfrac12\). \(-3 = \log_{0{,}5} 8\); основание меньше 1, знак меняется: \(2x + 1 \le 8\), \(x \le 3{,}5\). С ОДЗ: \(-\dfrac12 \lt x \le 3{,}5\). Ответ: \(\left(-\dfrac12; 3{,}5\right]\).
Лайфхак. Решайте неравенство как систему из двух строк: «ОДЗ» и «переход». Вторую строку пишите со стрелкой направления знака: при \(0 \lt a \lt 1\) рисуйте разворот. Так ошибка со знаком видна сразу.
Типичная ошибка. Для \(\log_2(x - 3) \lt 2\) пишут ответ \(x \lt 7\), забывая ОДЗ: при \(x = 0\) логарифм не существует. Левая граница \(x \gt 3\) появляется только из ОДЗ.
На ЕГЭ. Задание 15: \(\log_3(x^2 - 2x) \le 1\) — ОДЗ \(x(x - 2) \gt 0\), переход \(x^2 - 2x \le 3\), ответ \([-1; 0) \cup (2; 3]\). Промежутки с выколотыми точками ОДЗ — обычный вид ответа.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward