Неравенство между логарифмами с одним основанием
Если логарифмы с одним основанием стоят в обеих частях, сравнивают аргументы: при основании больше 1 — в ту же сторону, при основании меньше 1 — в обратную. ОДЗ требует положительности обоих аргументов, но достаточно потребовать её от меньшего.
Правило. \[a \gt 1:\quad \log_a f \gt \log_a g \iff \begin{cases} f \gt g, \\ g \gt 0; \end{cases} \qquad 0 \lt a \lt 1:\quad \log_a f \gt \log_a g \iff \begin{cases} f \lt g, \\ f \gt 0. \end{cases}\] Положительность проверяют у меньшего из аргументов — большего это коснётся автоматически.
Как это работает. Решим неравенство \(\log_3(2x - 1) \gt \log_3(x + 2)\).
- Основание больше 1: \(2x - 1 \gt x + 2\), откуда \(x \gt 3\).
- Меньший аргумент — \(x + 2\): условие \(x + 2 \gt 0\), \(x \gt -2\).
- Пересечение: \(x \gt 3\). Ответ: \((3; +\infty)\).
Ещё пример. Решите неравенство \(\log_{0{,}2}(x^2 - 4) \ge \log_{0{,}2}(3x)\).
Решение. Основание меньше 1: \(x^2 - 4 \le 3x\) и меньший аргумент \(x^2 - 4 \gt 0\). Первое: \(x^2 - 3x - 4 \le 0\), \(-1 \le x \le 4\). Второе: \(x \lt -2\) или \(x \gt 2\). Пересечение: \(2 \lt x \le 4\). Ответ: \((2; 4]\).
Лайфхак. Какой аргумент меньше, определяют по направлению знака после перехода: в неравенстве \(f \gt g\) меньший — \(g\), в неравенстве \(f \lt g\) меньший — \(f\). Записывайте положительность именно его — одно условие вместо двух.
Типичная ошибка. При основании меньше 1 меняют знак, а ОДЗ берут от «большего по записи» аргумента \(g\), который теперь больше: условие оказывается слишком слабым, и лишние корни попадают в ответ.
На ЕГЭ. Задание 15: \(\log_5(x^2 + 3x) \le \log_5(2x + 6)\) — типовая структура: квадратичный и линейный аргументы; ответ — объединение промежутков. Сверяйте число выколотых точек с ОДЗ.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward