Логарифмические неравенства с заменой
Если логарифм входит в неравенство в квадрате и в первой степени или в виде дроби, помогает замена \(t = \log_a x\). Решив неравенство относительно \(t\), возвращаются к \(x\) с учётом монотонности логарифма.
Алгоритм. 1) ОДЗ: \(x \gt 0\) (и другие условия, если есть). 2) Замена \(t = \log_a x\), ограничений на \(t\) нет. 3) Решить неравенство для \(t\) методом интервалов. 4) Вернуться: при \(a \gt 1\) \(t \lt c \iff 0 \lt x \lt a^c\), \(t \gt c \iff x \gt a^c\); при \(0 \lt a \lt 1\) направления обратные. 5) Учесть ОДЗ.
Как это работает. Решим неравенство \(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 \le 0\).
- ОДЗ: \(x \gt 0\). Замена \(t = \log_2 x\): \(t^2 - 3t + 2 \le 0\), \(1 \le t \le 2\).
- Возвращаемся: \(1 \le \log_2 x \le 2\), то есть \(\log_2 2 \le \log_2 x \le \log_2 4\).
- Основание больше 1: \(2 \le x \le 4\). Ответ: \([2; 4]\).
Ещё пример. Решите неравенство \(\dfrac{\log_3 x - 2}{\log_3 x} \ge 0\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt 0\), \(x \ne 1\). \(t = \log_3 x\): \(\dfrac{t - 2}{t} \ge 0\), \(t \lt 0\) или \(t \ge 2\). Возвращаемся: \(\log_3 x \lt 0\) даёт \(0 \lt x \lt 1\); \(\log_3 x \ge 2\) даёт \(x \ge 9\). Ответ: \((0; 1) \cup [9; +\infty)\).
Лайфхак. Условие \(t \lt 0\) при возврате даёт промежуток \((0; 1)\), а не \((-\infty; 0)\): логарифм отрицателен для аргументов между 0 и 1. Нижняя граница 0 всегда приходит из ОДЗ.
Типичная ошибка. Из \(1 \le t \le 2\) делают вывод \(1 \le x \le 2\). Нужно возвести основание в степень: \(2^1 \le x \le 2^2\).
На ЕГЭ. Задание 15: \(\log_5^2 x - \log_5 x^3 + 2 \le 0\) — с предварительным выносом показателя: \(\log_5 x^3 = 3\log_5 x\). Знаменатель вида \(\log_2 x - 1\) выкалывает точку \(x = 2\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward