Показательные уравнения

Функция \(y = a^x\) (\(a \gt 0\), \(a \ne 1\)) монотонна, поэтому \(a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)\). Показательная функция принимает только положительные значения: уравнение \(2^x = -8\) корней не имеет.

• Приведение к одному основанию: \(4^{x - 4} = 64\) \(\Leftrightarrow\) \(4^{x - 4} = 4^3\), \(x = 7\); \(\left(\dfrac15\right)^{x - 2} = 125\) \(\Leftrightarrow\) \(5^{2 - x} = 5^3\), \(x = -1\).
• Вынесение общего множителя: \(3^{x + 2} + 3^x = 90\) \(\Leftrightarrow\) \(3^x(9 + 1) = 90\), \(3^x = 9\), \(x = 2\).
• Замена: \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\), \(t = 2^x \gt 0\): \(t^2 - 5t + 4 = 0\), \(t = 1\) или \(t = 4\), откуда \(x = 0\) или \(x = 2\).
• Разные основания в одной степени: \(2^x = 3^x\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(\dfrac23\right)^x = 1\), \(x = 0\); \(5^{x} = 7^{x - 1}\) решают логарифмированием.

Пример. Решите уравнение \(9^x - 4 \cdot 3^x - 45 = 0\).
Решение. \(t = 3^x \gt 0\): \(t^2 - 4t - 45 = 0\), \(t = 9\) или \(t = -5\). Второй корень не подходит. \(3^x = 9\), \(x = 2\).

Пример. Решите уравнение \(0{,}5^{x^2 - 3x} = 4\).
Решение. \(2^{3x - x^2} = 2^2\), \(x^2 - 3x + 2 = 0\), \(x = 1\) или \(x = 2\).