Логарифмические уравнения

По определению \(\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b\) (условие \(f \gt 0\) выполнено автоматически, так как \(a^b \gt 0\)). Уравнение \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\) равносильно системе \(f(x) = g(x)\), \(f(x) \gt 0\) (второе неравенство \(g \gt 0\) тогда следует само).

Пример. Решите уравнение \(\log_5 (4 + x) = 2\).
Решение. \(4 + x = 25\), \(x = 21\).

Пример. Решите уравнение \(\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt 2\). \(\log_2 (x(x - 2)) = 3\), \(x^2 - 2x - 8 = 0\), \(x = 4\) или \(x = -2\). ОДЗ удовлетворяет \(x = 4\).

Пример. Решите уравнение \(\log_3 (x^2 - 5x + 9) = \log_3 (x + 1)\).
Решение. \(x^2 - 5x + 9 = x + 1\), \(x^2 - 6x + 8 = 0\), \(x = 2\) или \(x = 4\); \(x + 1 \gt 0\) выполнено для обоих. Ответ: 2; 4.

Если логарифм входит несколько раз — замена \(t = \log_a x\): \(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0\), \(t = 1\) или \(t = 2\), \(x = 2\) или \(x = 4\). Уравнение с переменным основанием \(\log_{x}(x + 6) = 2\) требует \(x \gt 0\), \(x \ne 1\): \(x^2 = x + 6\), \(x = 3\) (корень \(-2\) отброшен).