Смешанные приёмы: логарифмирование и основное тождество

Когда основания разные и к одному не приводятся, уравнение логарифмируют: \(5^x = 7^{x - 1}\) \(\Rightarrow\) \(x\ln 5 = (x - 1)\ln 7\), \(x = \dfrac{\ln 7}{\ln 7 - \ln 5} = \log_{\dfrac75} 7\). Так же решают \(x^{\log_2 x} = 8x\): при \(x \gt 0\) логарифмируем по основанию 2 — \(\log_2^2 x = 3 + \log_2 x\), \(t^2 - t - 3 = 0\).

Уравнения вида \(a^{\log_a f(x)} = g(x)\) упрощает основное логарифмическое тождество \(a^{\log_a b} = b\) при \(b \gt 0\).

Пример. Решите уравнение \(4^{\log_2 (x + 1)} = 9\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt -1\). \(4^{\log_2(x + 1)} = 2^{2\log_2(x + 1)} = (x + 1)^2\), значит, \((x + 1)^2 = 9\), \(x = 2\) или \(x = -4\). По ОДЗ остаётся \(x = 2\).

Пример. Решите уравнение \(2^{x} + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 56\).
Решение. \(2^x(1 + 2 + 4) = 56\), \(2^x = 8\), \(x = 3\).

Пример. Решите уравнение \(\log_4 (2^x + 12) = x - 1\).
Решение. \(2^x + 12 = 4^{x - 1} = \dfrac{4^x}{4}\); \(t = 2^x \gt 0\): \(4t + 48 = t^2\), \(t^2 - 4t - 48 = 0\), \(t = 8\) (корень \(-6\) не подходит). \(x = 3\).