Построение сечений многогранников

Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, стороны которого лежат на гранях. Строят его по трём правилам.

1. Две точки сечения, лежащие в одной грани, соединяют отрезком.
2. Параллельные грани секущая плоскость пересекает по параллельным отрезкам.
3. Метод следов: прямую, уже построенную в одной грани, продолжают до пересечения с прямой, содержащей ребро соседней грани; полученная точка тоже принадлежит сечению.

Пример. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром 4 постройте сечение плоскостью, проходящей через вершины \(A\), \(C\) и середину \(M\) ребра \(B_1C_1\), и найдите его площадь.
Решение. Грани \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) параллельны, поэтому след в верхней грани параллелен \(AC\): проводим через \(M\) прямую, параллельную \(A_1C_1\), она пересекает \(A_1B_1\) в его середине \(N\). Сечение — трапеция \(ACMN\) с основаниями \(AC = 4\sqrt2\) и \(MN = 2\sqrt2\). Боковые стороны \(CM = AN = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt5\). Высота \(h = \sqrt{20 - \left(\sqrt2\right)^2} = 3\sqrt2\). Площадь \(\dfrac{4\sqrt2 + 2\sqrt2}{2} \cdot 3\sqrt2 = 18\).

Пример. Какие многоугольники могут получиться в сечении куба?
Решение. Треугольник, четырёхугольник (в том числе трапеция, прямоугольник, ромб), пятиугольник и шестиугольник: у куба шесть граней, и каждая сторона сечения лежит в своей грани. Правильный шестиугольник получается в сечении плоскостью, проходящей через середины шести рёбер перпендикулярно диагонали куба.