Правила умножения и сложения, перестановки

Правило умножения: если первый выбор можно сделать \(m\) способами, а второй — \(n\) способами (при любом первом), то пару можно выбрать \(mn\) способами. Правило сложения: если выбор делается либо из \(m\), либо из \(n\) непересекающихся вариантов, всего \(m + n\) способов.

Перестановки: \(n\) различных предметов можно расставить в ряд \(P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\) способами. \(3! = 6\), \(4! = 24\), \(5! = 120\), \(6! = 720\); по определению \(0! = 1\).

Пример. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений?
Решение. \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120\).

Пример. Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?
Решение. Первая цифра — из \(\{2, 4, 6, 8\}\) (4 варианта), остальные — из пяти чётных цифр: \(4 \cdot 5^3 = 500\).

Пример. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом, если важно только взаимное расположение?
Решение. Зафиксируем одного; остальных 4 — \(4! = 24\) способами.