Размещения, сочетания и вероятность
| Что выбираем | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Упорядоченный набор \(k\) из \(n\) (размещения) | \(A_n^k = \dfrac{n!}{(n - k)!} = n(n - 1)\cdots(n - k + 1)\) | \(A_{10}^3 = 720\) способов распределить золото, серебро и бронзу среди 10 спортсменов |
| Неупорядоченный набор \(k\) из \(n\) (сочетания) | \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}\) | \(C_{10}^3 = 120\) способов выбрать троих дежурных |
Свойства сочетаний: \(C_n^k = C_n^{n - k}\), \(C_n^0 = C_n^n = 1\), \(C_n^1 = n\), \(C_n^2 = \dfrac{n(n - 1)}{2}\). Числа \(C_n^k\) стоят в треугольнике Паскаля и являются коэффициентами бинома Ньютона \((a + b)^n\).
Пример. В классе 20 учеников, из них 8 мальчиков. Наудачу выбирают двух дежурных. Какова вероятность, что оба — мальчики?
Решение. \(P = \dfrac{C_8^2}{C_{20}^2} = \dfrac{28}{190} = \dfrac{14}{95} \approx 0{,}15\).
Пример. Класс из 26 учеников случайно делят на две равные группы. Какова вероятность, что два друга окажутся в одной группе?
Решение. Пусть первый уже в какой-то группе; в ней осталось 12 мест из 25 возможных для второго: \(\dfrac{12}{25} = 0{,}48\).
Пример. Сколькими способами можно выбрать из 12 человек комиссию из председателя и двух рядовых членов?
Решение. Председатель — 12 способов, два рядовых из оставшихся 11 — \(C_{11}^2 = 55\): всего \(660\).
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward