Предел последовательности

11 заданий

Если члены последовательности с ростом номера подходят к некоторому числу сколь угодно близко, это число называют пределом. Предел описывает «поведение на бесконечности»: куда стремятся члены, а не чему они равны.

Определение и правила. \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L\), если для любого \(\varepsilon \gt 0\) все члены, начиная с некоторого номера, удовлетворяют \(|a_n - L| \lt \varepsilon\). Базовые пределы: \(\dfrac1n \to 0\), \(\dfrac{1}{n^k} \to 0\), \(q^n \to 0\) при \(|q| \lt 1\). Правила: предел суммы, произведения, частного равен сумме, произведению, частному пределов (если знаменатель не стремится к нулю). Для отношения многочленов делят числитель и знаменатель на старшую степень \(n\). Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Как это работает. Найдём \(\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 - n + 5}{2n^2 + 7}\).

Делим числитель и знаменатель на \(n^2\): \(\dfrac{3 - \dfrac1n + \dfrac{5}{n^2}}{2 + \dfrac{7}{n^2}}\).
Слагаемые \(\dfrac1n\), \(\dfrac{5}{n^2}\), \(\dfrac{7}{n^2}\) стремятся к нулю.
Предел равен \(\dfrac{3}{2} = 1{,}5\). Ответ: 1,5.

Ещё пример. Найдите предел последовательности \(a_n = 2 - \dfrac{5}{n + 3}\) и первый номер, начиная с которого \(|a_n - 2| \lt 0{,}01\).
Решение. \(\dfrac{5}{n + 3} \to 0\), предел равен 2. Условие \(\dfrac{5}{n + 3} \lt 0{,}01\) даёт \(n + 3 \gt 500\), \(n \gt 497\): начиная с \(n = 498\). Ответ: 2; 498.

Лайфхак. Предел отношения многочленов определяется только старшими степенями: равные степени — отношение старших коэффициентов; степень числителя меньше — нуль; больше — предела нет (члены неограниченно растут). Это то же правило, что для горизонтальной асимптоты.

Типичная ошибка. «Предел последовательности \(\dfrac1n\) равен нулю, значит, какой-то её член равен нулю». Ни один член не равен нулю: предел — это число, к которому члены приближаются, а не которое принимают.

На ЕГЭ. Предел в явном виде не проверяется, но сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (тема 3.8) — это предел сумм \(S_n\), а поведение долга при бесконечном числе платежей в задании 13 — вопрос о пределе.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward