Монотонность и ограниченность

11 заданий

Последовательность возрастает, если каждый следующий член больше предыдущего, и убывает, если меньше. Она ограничена, если все её члены лежат на некотором отрезке. Эти свойства проверяют по формуле, сравнивая \(a_{n + 1}\) с \(a_n\) и оценивая члены.

Определения. Возрастающая: \(a_{n + 1} \gt a_n\) при всех \(n\) (убывающая: \(a_{n + 1} \lt a_n\)). Проверка: знак разности \(a_{n + 1} - a_n\) или сравнение отношения \(\dfrac{a_{n + 1}}{a_n}\) с единицей для положительных членов. Ограниченная сверху: существует \(M\) с \(a_n \le M\); снизу: \(a_n \ge m\); ограниченная — и то и другое. Например, \(a_n = \dfrac{n}{n + 1}\) возрастает и ограничена: \(0 \lt a_n \lt 1\).

Как это работает. Исследуем последовательность \(a_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}\) на монотонность и ограниченность.

Разность: \(a_{n + 1} - a_n = \dfrac{2n + 3}{n + 4} - \dfrac{2n + 1}{n + 3} = \dfrac{(2n + 3)(n + 3) - (2n + 1)(n + 4)}{(n + 4)(n + 3)} = \dfrac{5}{(n + 4)(n + 3)} \gt 0\): последовательность возрастает.
Выделим целую часть: \(a_n = \dfrac{2(n + 3) - 5}{n + 3} = 2 - \dfrac{5}{n + 3}\). Так как \(0 \lt \dfrac{5}{n + 3} \le \dfrac54\), получаем \(\dfrac34 \le a_n \lt 2\).
Ответ: возрастает, ограничена: \(\dfrac34 \le a_n \lt 2\).

Ещё пример. Является ли последовательность \(a_n = (-1)^n \cdot n\) монотонной? Ограниченной?
Решение. Члены: \(-1, 2, -3, 4, \dots\) — знаки чередуются, последовательность не монотонна; по модулю члены неограниченно растут — она не ограничена ни сверху, ни снизу. Ответ: нет; нет.

Лайфхак. У дробно-линейной последовательности \(a_n = \dfrac{pn + q}{n + s}\) выделите целую часть: \(a_n = p + \dfrac{q - ps}{n + s}\). Знак числителя остатка сразу показывает монотонность (минус — возрастает, плюс — убывает), а \(p\) — границу, к которой члены приближаются.

Типичная ошибка. Монотонность проверяют по двум-трём первым членам. Последовательность \(a_n = n^2 - 10n\) сначала убывает (\(-9, -16, -21, \dots\)), а с \(n = 5\) возрастает: нужна проверка для всех \(n\).

На ЕГЭ. Монотонность и ограниченность — язык рассуждений в задании 19 о целых числах («последовательность убывает и состоит из натуральных чисел, значит, конечна») и в задании 13 (долг уменьшается с каждым годом).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward