Призма: объём и площадь поверхности

11 заданий

Призма — многогранник с двумя равными параллельными основаниями и боковыми гранями-параллелограммами. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям, и боковые грани — прямоугольники; у правильной призмы основание — правильный многоугольник. Объём любой призмы — площадь основания, умноженная на высоту.

Формулы. \[V = S_{\text{осн}} \cdot h; \qquad S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h \;(\text{прямая призма}); \qquad S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}.\] Высота прямой призмы равна боковому ребру. Правильная треугольная призма со стороной \(a\): \(S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\); правильная шестиугольная: \(S_{\text{осн}} = \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2\). Диагональ прямой призмы — гипотенуза с катетами «диагональ основания» и «высота».

Как это работает. Найдём объём и площадь полной поверхности правильной треугольной призмы со стороной основания 4 и высотой 10.

\(S_{\text{осн}} = \dfrac{16\sqrt3}{4} = 4\sqrt3\); \(V = 4\sqrt3 \cdot 10 = 40\sqrt3\).
\(S_{\text{бок}} = P \cdot h = 12 \cdot 10 = 120\).
\(S_{\text{полн}} = 120 + 2 \cdot 4\sqrt3 = 120 + 8\sqrt3\). Ответ: \(40\sqrt3\); \(120 + 8\sqrt3\).

Ещё пример. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объём и площадь боковой поверхности.
Решение. \(S_{\text{осн}} = 24\), \(V = 120\); периметр основания \(6 + 8 + 10 = 24\), \(S_{\text{бок}} = 24 \cdot 5 = 120\). Ответ: 120; 120.

Лайфхак. Если в задаче даны объём и площадь основания, высота находится делением; если дана площадь боковой поверхности прямой призмы — делите на периметр. Площадь основания правильной призмы ищите через формулы правильных многоугольников.

Типичная ошибка. В площадь полной поверхности включают одно основание вместо двух, а в наклонной призме берут за высоту боковое ребро. Высота — перпендикуляр между плоскостями оснований.

На ЕГЭ. Задание 3 (стереометрия, базовый уровень): «Найдите объём правильной шестиугольной призмы, все рёбра которой равны \(\sqrt3\)» — \(V = \dfrac{3\sqrt3}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt3 = 13{,}5\). Задание 15: призма — частая конфигурация для углов и расстояний.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward