Прямоугольный параллелепипед и куб
Прямоугольный параллелепипед — «коробка» с измерениями \(a\), \(b\), \(c\); куб — его частный случай с равными рёбрами. Главная формула — квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений: пространственная теорема Пифагора.
Формулы. \[d^2 = a^2 + b^2 + c^2, \qquad V = abc, \qquad S = 2(ab + bc + ac).\] Куб с ребром \(a\): \(d = a\sqrt3\), диагональ грани \(a\sqrt2\), \(V = a^3\), \(S = 6a^2\); радиус описанного шара \(\dfrac{a\sqrt3}{2}\), вписанного \(\dfrac a2\). Если куб увеличить в \(k\) раз, площадь поверхности растёт в \(k^2\), объём — в \(k^3\) раз.
Как это работает. Измерения прямоугольного параллелепипеда 2, 3 и 6. Найдём диагональ, объём и площадь поверхности.
- \(d = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\).
- \(V = 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36\).
- \(S = 2(6 + 18 + 12) = 72\). Ответ: 7; 36; 72.
Ещё пример. Диагональ куба равна \(\sqrt{12}\). Найдите его объём. Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в 3 раза?
Решение. \(a\sqrt3 = \sqrt{12} = 2\sqrt3\), \(a = 2\), \(V = 8\). Объём растёт в \(3^3 = 27\) раз. Ответ: 8; в 27 раз.
Лайфхак. Пространственные тройки \(2, 3, 6 \to 7\); \(1, 2, 2 \to 3\); \(3, 4, 12 \to 13\); \(2, 6, 9 \to 11\) дают целые диагонали — их любят составители. Площадь поверхности считайте как удвоенную сумму трёх попарных произведений.
Типичная ошибка. Для диагонали куба пишут \(a\sqrt2\) — это диагональ грани. Пространственная диагональ — \(a\sqrt3\).
На ЕГЭ. Задание 3: «Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 3, 6» (7), «площадь поверхности куба равна 24; найдите объём» (8), «ребро куба увеличили в 2 раза; во сколько раз увеличилась площадь поверхности» (4).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward