Пирамида: объём, правильная пирамида, апофема

11 заданий

Пирамида — многогранник с многоугольным основанием и вершиной, соединённой со всеми вершинами основания. Её объём втрое меньше объёма призмы с теми же основанием и высотой. У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр.

Формулы. \[V = \dfrac13 S_{\text{осн}} h; \qquad S_{\text{бок}} = \dfrac12 P_{\text{осн}} \cdot l \;(\text{правильная пирамида}),\] где \(l\) — апофема (высота боковой грани). Связи в правильной пирамиде: \(l^2 = h^2 + r^2\) (\(r\) — радиус вписанной в основание окружности), \(b^2 = h^2 + R^2\) (\(b\) — боковое ребро, \(R\) — радиус описанной около основания окружности). Для правильной четырёхугольной пирамиды со стороной \(a\): \(r = \dfrac a2\), \(R = \dfrac{a\sqrt2}{2}\). Тетраэдр (правильный, ребро \(a\)): \(V = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}\), \(h = a\sqrt{\dfrac23}\).

Как это работает. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, боковое ребро 5. Найдём высоту, апофему, объём и площадь боковой поверхности.

\(R = \dfrac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2\); \(h = \sqrt{25 - 18} = \sqrt7\).
Апофема: \(l^2 = 25 - 9 = 16\) (из боковой грани — равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 6), \(l = 4\). Проверка: \(h^2 + r^2 = 7 + 9 = 16\).
\(V = \dfrac13 \cdot 36 \cdot \sqrt7 = 12\sqrt7\); \(S_{\text{бок}} = \dfrac12 \cdot 24 \cdot 4 = 48\). Ответ: \(\sqrt7\); 4; \(12\sqrt7\); 48.

Ещё пример. Объём пирамиды равен 20, площадь основания 12. Найдите высоту. Основание другой пирамиды — прямоугольник \(3 \times 4\), все боковые рёбра равны \(6{,}5\); найдите её объём.
Решение. \(h = \dfrac{3V}{S} = 5\). Во второй пирамиде вершина проецируется в центр описанной окружности прямоугольника — точку пересечения диагоналей; \(R = \dfrac{5}{2}\), \(h = \sqrt{6{,}5^2 - 2{,}5^2} = \sqrt{42{,}25 - 6{,}25} = 6\); \(V = \dfrac13 \cdot 12 \cdot 6 = 24\). Ответ: 5; 24.

Лайфхак. В правильной пирамиде нарисуйте два прямоугольных треугольника: «высота — \(r\) — апофема» и «высота — \(R\) — боковое ребро». Они связывают все элементы; большинство задач — применение теоремы Пифагора в одном из них.

Типичная ошибка. Забывают множитель \(\dfrac13\) в объёме или путают апофему с высотой пирамиды. Апофема лежит в боковой грани, высота — внутри пирамиды; апофема всегда длиннее высоты.

На ЕГЭ. Задание 3: «Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 6 и боковым ребром 5» — \(12\sqrt7\) не годится для бланка, поэтому в КИМ числа подбирают так, чтобы высота была целой (например, сторона 6, ребро \(\sqrt{34}\): \(h = 4\), \(V = 48\)). Задание 15: правильная пирамида — основная конфигурация для углов.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward