Подобие тел. Усечённая пирамида

11 заданий

Если тело увеличить в \(k\) раз, все длины вырастут в \(k\) раз, площади — в \(k^2\), объёмы — в \(k^3\). Этот принцип решает задачи об отсечённых и усечённых пирамидах: плоскость, параллельная основанию, отсекает от пирамиды подобную ей маленькую пирамиду.

Формулы. Подобные тела: \(\dfrac{S_1}{S_2} = k^2\), \(\dfrac{V_1}{V_2} = k^3\). Плоскость, параллельная основанию и делящая высоту в отношении \(m : n\) от вершины, отсекает пирамиду с коэффициентом \(k = \dfrac{m}{m + n}\): её объём \(k^3 V\), объём усечённой части \((1 - k^3)V\). Усечённая пирамида с основаниями \(S_1\), \(S_2\) и высотой \(h\): \[V = \dfrac13 h\left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right).\]

Как это работает. Плоскость, параллельная основанию пирамиды объёма 54, делит её высоту пополам. Найдём объёмы отсечённой пирамиды и усечённой пирамиды.

Коэффициент подобия отсечённой пирамиды \(k = \dfrac12\); её объём \(\left(\dfrac12\right)^3 \cdot 54 = \dfrac{54}{8} = 6{,}75\).
Усечённая часть: \(54 - 6{,}75 = 47{,}25\).
Проверка через формулу: если \(S_2 = S\), то \(S_1 = \dfrac S4\), \(\sqrt{S_1 S_2} = \dfrac S2\), и \(V = \dfrac13 \cdot \dfrac h2 \cdot \dfrac{7S}{4} = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{Sh}{3}\) — \(\dfrac78\) исходного объёма. Ответ: 6,75; 47,25.

Ещё пример. Объёмы двух подобных пирамид относятся как \(8 : 27\), площадь поверхности меньшей равна 40. Найдите площадь поверхности большей.
Решение. \(k^3 = \dfrac{27}{8}\), \(k = \dfrac32\), \(k^2 = \dfrac94\); площадь \(40 \cdot \dfrac94 = 90\). Ответ: 90.

Лайфхак. Задачи «через середины боковых рёбер проведена плоскость, найдите объём отсечённой части» — всегда \(\dfrac18\) от объёма (куб половины). Через точки, делящие рёбра в отношении \(1 : 2\) от вершины, — \(\dfrac{1}{27}\).

Типичная ошибка. Отношение объёмов берут равным отношению длин (\(k\)) или площадей (\(k^2\)). Объём — три измерения, множитель \(k^3\).

На ЕГЭ. Задание 3: «Объём пирамиды 72; через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию; найдите объём отсечённой пирамиды» (9). «Во сколько раз объём большей пирамиды больше, если её высота в 2 раза больше при подобии» (8).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward