Сечения многогранников

10 заданий

Сечение — многоугольник, по которому плоскость пересекает многогранник. Его строят, находя точки пересечения плоскости с рёбрами: соединяют точки, лежащие в одной грани, используют параллельность (параллельные грани плоскость пересекает по параллельным прямым) и продолжают прямые до пересечения с рёбрами (метод следов).

Сечение куба плоскостью через три точки на рёбрах: сначала соединяем точки одной грани, затем проводим параллельные отрезки в противоположных гранях

Правила построения. 1) Две точки в одной грани — соединить отрезком. 2) Параллельные грани пересекаются секущей плоскостью по параллельным отрезкам. 3) Если точки в разных гранях и нет параллельности — продолжить отрезок до пересечения с продолжением ребра (след), затем из следа провести прямую в соседней грани. 4) Проверить: сечение — выпуклый многоугольник, у которого не больше сторон, чем граней у многогранника (у куба — не больше 6). Площадь сечения считают по формулам планиметрии или через проекцию: \(S = \dfrac{S_{\text{проекции}}}{\cos\varphi}\).

Как это работает. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром 2 построим сечение плоскостью, проходящей через вершины \(A\), \(C\) и середину \(M\) ребра \(BB_1\), и найдём его площадь.

Точки \(A\) и \(C\) лежат в нижней грани — отрезок \(AC\); \(A\) и \(M\) — в грани \(ABB_1A_1\) — отрезок \(AM\); \(C\) и \(M\) — в грани \(BCC_1B_1\) — отрезок \(CM\). Сечение — треугольник \(ACM\).
Стороны: \(AC = 2\sqrt2\), \(AM = CM = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5\) — равнобедренный треугольник.
Высота к \(AC\): \(\sqrt{5 - 2} = \sqrt3\); \(S = \dfrac12 \cdot 2\sqrt2 \cdot \sqrt3 = \sqrt6\). Ответ: \(\sqrt6\).

Ещё пример. Найдите площадь сечения куба с ребром 1 плоскостью, проходящей через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины.
Решение. Сечение — равносторонний треугольник со стороной \(\sqrt2\) (диагонали граней): \(S = \dfrac{(\sqrt2)^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{2}\). Ответ: \(\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Лайфхак. Если две из трёх данных точек лежат в одной грани, а третья — в противоположной, проведите через третью точку отрезок, параллельный первому: параллельные грани дают параллельные стороны сечения. Так за два шага строится большинство сечений куба.

Типичная ошибка. Соединяют точки, лежащие в разных гранях, отрезком «через внутренность куба». Стороны сечения лежат только на гранях; отрезок между точками разных граней проходит внутри тела и стороной сечения не является.

На ЕГЭ. Задание 15, пункт а): «постройте сечение и докажите, что оно — прямоугольник (трапеция)»; пункт б): «найдите площадь сечения» или «угол между плоскостью сечения и основанием».

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward